Construcción de una POVM para discriminar estados cuánticos mmm. ¿Qué pasa si son linealmente dependientes?

Me encontré con este problema en el libro Información cuántica de Nielsen & Chuang (problema 2.64)

Supongamos que a Bob se le da un estado cuántico elegido de un conjunto | ψ 1 ⟩ , . . . , | ψ metro ⟩ de estados linealmente independientes. Construir un POVM { mi 1 , mi 2 , . . . , mi metro + 1 } tal que si el resultado mi i ocurre, 1 ≤ i ≤ metro , entonces Bob sabe con certeza que se le dio el estado | ψ i ⟩ . (El POVM debe ser tal que ⟨ ψ i | mi i | ψ i ⟩ > 0 para cada i .)

Esta es mi solución propuesta:

Denotamos por | ϕ i ⟩ el (¿único? Supongo que no importa) vector ortogonal al subespacio atravesado por { | ψ j ⟩ } j ≠ i y definir

mi i = ∑ i ≠ j | ϕ j ⟩ ⟨ ϕ j |

Entonces ⟨ ψ j | mi i | ψ j ⟩ = 0 por construcción, y ⟨ ψ i | mi i | ψ i ⟩ > 0 . El último operador se define para satisfacer la integridad:

mi metro + 1 = I − ∑ j = 1 metro mi j .

Entonces, cuando obtener obtiene el resultado i , él sabe que no puede haber sido ninguno de los otros ψ j 's, por lo que debe haber sido ψ i con seguridad. Si obtiene resultado metro + 1 , no sabe nada. ¿Es esto correcto?

Qué pasa si ahora introducimos otro vector al conjunto: ψ ⟩ = a | ψ 1 ⟩ + b | ψ 2 ⟩ , es decir, elimine la condición de independencia lineal (solo en un ejemplo simple aquí). ¿Cómo afectaría eso a la mi j 's, ¿todavía es posible construir un POVM así?

Respuestas (2)

Se pierde una hipótesis crucial en su construcción.

Cada ϕ i también debe satisfacer ϕ i ⊥̸ ψ i , de lo contrario ⟨ ψ i | mi i ψ i ⟩ > 0 Es falso.

Este punto también proporciona una respuesta a su última pregunta.

Si ψ es un vector adicional añadido, linealmente dependiente de los vectores ψ i , la construcción que realizó no se puede volver a proponer ya que la restricción que señalé no se puede cumplir. De hecho, incluso si el vector normalizado agregado correspondientemente ϕ es ortogonal a todos ψ i , es (evidentemente) imposible que ϕ ⊥̸ ψ = ∑ i = 1 norte C i ψ i .

Entonces, ¿cómo garantizo que ϕ i ⊥̸ ψ i en mi construcción? Pensé que siempre era así: estaba visualizando la situación como un plano en el espacio 3D (subespacio atravesado por i ≠ j ) y un vector perpendicular a él ( ϕ i ). Este vector nunca puede ser él mismo perpendicular a ningún otro vector que no esté contenido dentro del plano. Pensé que esto se generalizaba al caso de un metro − 1 subespacio dimensional de un metro oscuro. ¿espacio?
Supongamos que el espacio tiene metro + q dimensiones con q > 0 (como generalmente se supone al suponer que mi metro + 1 ≠ 0 ). En este caso necesariamente existe un vector ϕ que es simultáneamente ortogonal al espacio atravesado por todos los metro vectores ψ i , por lo que es ortogonal a todos los ψ i con i = 1 , … , metro . Sucede incluso si son linealmente independientes. Por lo tanto, no siempre es el caso y debe elegir el ϕ i imponiendo también la hipótesis que señalé. Siempre es posible. Sin embargo, no es posible, si el ψ i no son linealmente independientes.
Pero en esta construcción, el espacio tiene dimensión. metro y todos estos subespacios son metro − 1 dimensional, así que no veo cómo se aplica esto aquí.
¿Estás diciendo que también asumes que el espacio tiene dimensión? metro desde cero?
Parece que de hecho estaba asumiendo eso, y sin ninguna razón. La pregunta no menciona la dimensionalidad del espacio en absoluto (aunque presumiblemente debería ser de dimensión finita) ... ahora entiendo tu punto
De acuerdo, si asume eso, mi restricción se cumple automáticamente, pero mi comentario final (en mi respuesta) es válido de todos modos cuando se consideran vectores linealmente dependientes. Mi punto es que si asumes que mi metro + 1 ≠ 0 en general, el espacio puede tener dimensión > metro , como es evidente en el caso ϕ i ⊥ ϕ j para i ≠ j ya que su POVM se convierte en un PVM con norte > metro proyectores ortogonales.

El contexto implícito de este ejercicio es un espacio de Hilbert H de dimensión al menos metro . Dejar W ser el ( metro -dimensional) subespacio de H abarcado por el conjunto { | ψ 1 ⟩ , . . . , | ψ metro ⟩ } y que, para cada i = 1 , . . . , metro , V i ser el ( metro − 1 dimensional) subespacio de W abarcado por el conjunto { | ψ j ⟩ ∣ j ≠ i } .

De la teoría elemental del espacio de Hilbert sabemos que cada uno de los vectores | ψ i ⟩ se puede dividir en una suma | ψ i ⟩ = | v i ⟩ + | o i ⟩ , dónde | v i ⟩ ∈ V i y | o i ⟩ ∈ V i ⊥ ∩ W ( | v i ⟩ es la proyección ortogonal de | ψ i ⟩ sobre V i y | o i ⟩ = | ψ i ⟩ − | v i ⟩ ) . Tenga en cuenta que | o i ⟩ ≠ 0 para cada i , como | ψ i ⟩ por el supuesto de independencia lineal no pertenece a V i .

Ahora deja mi i = | o i ⟩ ⟨ o i | metro + 1 , para i = 1 , . . . , metro , y deja mi metro + 1 = I − ∑ j = 1 metro mi j . Entonces es fácil verificar ese conjunto de operadores { mi 1 , . . . , mi metro + 1 } satisface los requisitos para un POVM (los factores 1 metro + 1 son para asegurarse de que mi metro + 1 se mantiene positivo). Además, para 1 ≤ i , k ≤ metro con i ≠ k , tenemos ⟨ ψ k | mi i | ψ k ⟩ = 0 , y

⟨ ψ i | mi i | ψ i ⟩ = 1 metro + 1 ( ⟨ v i | o i ⟩ + ⟨ o i | v i ⟩ + 2 ⟨ o i | o i ⟩ ) = 2 metro + 1 ⟨ o i | o i ⟩ > 0 ,
como quería

Hay algo que creo que es necesario todavía. ¿Cómo sabe Bob cuál mi i ¿tomó? También si ⟨ o i | o i ⟩ son iguales para dos valores de i (el caso extremo sería que el conjunto { | Ψ i ⟩ } es ortonormal), ¿cómo puede Bob determinar qué | Ψ i ⟩ ha medido?
Creo que uno necesita en su lugar mi i = | o i ⟩ ⟨ o i | i + 1 .
Asegurarse mi metro + 1 se mantiene positivo, mi i necesita ser definido como mi i = | o i ⟩ ⟨ o i | metro ⟨ o i | o i ⟩ .
Déjame mostrarte por qué esto es así. Asumir w ∈ W es un vector arbitrario de W . Entonces ⟨ w | mi i | w ⟩ = ⟨ w | o i ⟩ ⟨ o i | w ⟩ metro ⟨ o i | o i ⟩ = | ⟨ o i | w ⟩ | 2 metro ⟨ o i | o i ⟩ . esto es obviamente > 0 , entonces mi i para i ≤ metro es positivo, según se requiera. Ahora, ⟨ w | mi metro + 1 | w ⟩ = ⟨ w | w ⟩ − ∑ i = 1 metro | ⟨ o i | w ⟩ | 2 metro ⟨ o i | o i ⟩ .
Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz | ⟨ o i | w ⟩ | 2 ≤ ⟨ o i | o i ⟩ ⟨ w | w ⟩ , entonces ⟨ w | mi metro + 1 | w ⟩ ≥ ⟨ w | w ⟩ − ∑ i = 1 metro ⟨ o i | o i ⟩ ⟨ w | w ⟩ metro ⟨ o i | o i ⟩ = ⟨ w | w ⟩ − ⟨ w | w ⟩ = 0 , entonces mi metro + 1 es positivo, según se requiera.
Tenga en cuenta que los vectores | o i ⟩ no están normalizados, por lo que ⟨ o i | o i ⟩ no tiene que ser 1 , lo que significa que esta desigualdad no se mantendría sin el factor de ⟨ o i | o i ⟩ en el denominador. Otra cosa diferente en mi definición es el uso de metro , en lugar de metro + 1 . metro + 1 también funciona, pero + 1 hay innecesario.
@user2820579 Bob no necesita decidir cuál mi i tomar. Una medida se describe matemáticamente mediante una colección de operadores. mi i asociado con cada resultado de la medición, pero el acto físico de la medición es solo una sola acción, dando uno de los resultados de la medición mi i al azar, dependiendo del estado que se esté midiendo.
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