Consideraciones de simetría en Plane Poiseuille Flow

La solución se encuentra dentro de la reducción de las ecuaciones de Navier-Stokes para este problema en particular y las suposiciones del flujo plano de Poiseuille. Las ecuaciones generales bidimensionales, incompresibles y de propiedades constantes de Navier-Stokes toman la forma,

$$\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = 0$$ $$\frac{\partial u}{\partial t} + u\frac{\partial u}{\partial x} + v\frac{\partial u}{\partial y}= -\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x} + \nu \left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \right)$$ $$\frac{\partial v}{\partial t} + u\frac{\partial v}{\partial x} + v\frac{\partial v}{\partial y}= -\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial y} + \nu \left(\frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} \right)$$

Para flujo constante tenemos,

$$\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial v}{\partial t} = 0$$

De manera similar, debido a que el flujo está confinado entre dos placas paralelas no porosas y estamos interesados ​​en soluciones de flujo laminar, deducimos automáticamente,

$$u = u(y) \quad \text{or} \quad \frac{\partial u}{\partial x} = 0$$ $$v = 0$$

Reduciendo las ecuaciones de Navier-Stokes de propiedades bidimensionales, incompresibles y constantes generales se obtiene,

$$\frac{\partial u}{\partial x} = 0$$ $$\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x} = \nu \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}$$ $$\frac{\partial p}{\partial y} = 0$$

Centrándose en el$x$-ecuación de cantidad de movimiento y usando los resultados de$\partial u/ \partial x = 0$y$\partial p/ \partial y = 0$, nos quedamos con una ecuación diferencial ordinaria lineal,

$$\frac{1}{\rho} \frac{d p}{d x} = \nu \frac{d^2 u}{d y^2}$$

La parte importante aquí es que$dp/dx$es una constante para la derivación del flujo plano de Poiseuille. Esto se debe a que el flujo plano de Poiseuille se refiere al flujo laminar completamente desarrollado entre dos placas paralelas. El flujo plano de Poiseuille tiene una solución generalizada suponiendo que las paredes son$\pm W$lejos de la línea central,

$$u(y) = - \frac{W^2}{2\mu} \frac{dp}{dx} \left[1-\left(\frac{y}{W}\right)^2\right]$$

La suposición completamente desarrollada es una distinción importante que la mayoría de los libros de texto no enfatizan con respecto al flujo plano de Poiseuille o incluso al flujo de tubería Hagen-Poiseuille. A continuación se muestra un esquema del flujo en una tubería, pero la ilustración se ve igual para el flujo plano entre placas paralelas.

Tenga en cuenta que solo en la región completamente desarrollada el perfil$u(y)$y el gradiente de presión de conducción$dp/dx$independizarse de la$x$ubicación entre las placas o dentro de la tubería. Esta es la base del argumento de simetría para$u$y$dp/dx$. Sin embargo, pareces estar obsesionado con el valor físico de$p$a lo largo de$x$en lugar de$dp/dx$. Solo necesita darse cuenta de que la función de conducción para este flujo en particular no es$p = p(x)$, pero simplemente$dp/dx$. Por último, un comentario final es que este flujo se restringe al flujo laminar completamente desarrollado y, dada una distancia lo suficientemente larga, el número de Reynolds será lo suficientemente alto como para que se produzca la transición a un flujo turbulento completamente desarrollado. En cuyo caso, la solución de flujo de Poiseuille o Hagen-Poiseuille ya no son aplicables.

Ofreceré dos comentarios, señalando que estas respuestas se basan parcialmente en el material ya presentado por TRF:

1. Para el flujo incompresible, solo importa el gradiente de presión, y la presión solo se determina hasta una constante arbitraria. En el sistema completo de ecuaciones de conservación de cantidad de movimiento y masa (presentado en la primera respuesta), solo aparece el gradiente de presión. Esto debería ser suficiente para explicar por qué una presión que varía en la dirección de la corriente no rompe la simetría propuesta, siempre que su gradiente sea constante. Quizás la respuesta corta a la pregunta de por qué " podemos suponer simetría traslacional cuando la presión no es simétrica bajo traslación" es que la presión en sí misma no aparece en las ecuaciones. Solo aparece su gradiente, y esto es invariante traslacionalmente. Note que no necesitamos asumir un gradiente de presión constante desde el principio: La suposición de un gradiente unidimensional invariante traslacionalmente perfil de velocidad es suficiente para derivar este resultado.
2. Como comentario adicional sobre estos "supuestos" de simetría, tal vez sea útil comprender que el problema original (flujo incompresible de Navier-Stokes entre infinitas placas paralelas) no está completamente formulado y, por lo tanto, la cuestión de su solución está mal planteada desde un punto de vista perspectiva matemática. El problema es que no se especifican las condiciones iniciales ni todas las condiciones de contorno. Una forma de ver la forma en que se formula este problema en particular es reformularlo de la siguiente manera: Encuentre todas las soluciones estables (si las hay) de las ecuaciones de Navier-Stokes en la geometría dada que se pueden caracterizar por un solo componente de velocidad paralelo a las placas. , variando solo en la coordenada normal a estas placas. Resulta que tales soluciones sí existen, y la respuesta a la pregunta es una familia de perfiles de velocidad parabólicos asociados con un gradiente de presión constante de un tamaño apropiado. Por supuesto, hay infinitas otras soluciones que no satisfacen las condiciones dadas, pero que sin embargo representan flujos físicos viables. Algunos ejemplos son los flujos no estacionarios (laminares o turbulentos) y varios tipos de flujos estacionarios en desarrollo. Por lo tanto, una segunda respuesta a la pregunta extendida de por qué "podemos suponer simetría traslacional cuando la presión no es simétrica bajo traslación "podría ser que no necesitamos ninguna justificación específica. Simplemente establecemos estos supuestos y vemos si podemos encontrar una solución que los satisfaga. Resulta que esto es de hecho del caso, que puede servir para justificar la suposición a posteriori.

Actualización: en un comentario a esta respuesta, surgió una pregunta sobre la interpretación física de lo anterior. Aquí está mi respuesta a esto: es importante darse cuenta de que la "presión" que aparece en las ecuaciones incompresibles de Navier-Stokes no es física en aspectos importantes. En mecánica de fluidos incompresibles, la presión no es una cantidad termodinámica. Como había dicho anteriormente, es un multiplicador de Lagrange para garantizar la incompresibilidad. Esto significa que, en cierto sentido, el modelo de "flujo incompresible" tampoco es físico en algunos aspectos importantes. Por ejemplo, las señales viajarán a una velocidad infinita en un fluido teórico incompresible. Y, en este modelo, el valor absoluto de la presión no tiene sentido.

El modelo de flujo incompresible tiene valor porque resulta que, siempre que la velocidad del flujo sea significativamente inferior a la velocidad del sonido, las soluciones que produce representan perturbaciones de buen comportamiento de las soluciones físicas de las ecuaciones de flujo comprimibles completas, o al menos eso creemos. Vale la pena mencionar que la pregunta de si efectivamente esta suposición es cierta está estrechamente ligada a la respuesta a uno de los Problemas del Milenio del Instituto Clay, que ha permanecido esquivo hasta ahora.

Finalmente, sí, si descartamos la suposición de incompresibilidad, entonces la solución de las ecuaciones comprimibles de Navier-Stokes no retendrá la invariancia traslacional del gradiente de presión o el campo de velocidad.