Conservación de energía cuando el capacitor se carga en un circuito de resistencia cero

Esto no es realmente una situación física razonable. El problema es que si la resistencia realmente es cero, entonces el tiempo de carga también es cero y la corriente es infinita, lo cual no es una conclusión razonable. En casos físicos, algo debe ceder: la resistencia de los cables, o la resistencia interna de la batería, dejará de ser despreciable antes de ese punto.

La forma correcta de lidiar con resistencias insignificantes es resolver el problema en su totalidad con una resistencia distinta de cero, obtener una respuesta final y luego tomar el límite de$R\to0$. (Tenga en cuenta que en muchos casos esto se hace al revés frente a los estudiantes: se comienza con una resistencia insignificante y luego se construye hasta el caso completo. Esto se justifica en los casos en los que el caso completo se reduce al simplificado). En este particular caso, la energía disipada no depende de$R$, y esto debe leerse precisamente así:

por pequeña que sea la resistencia, siempre disipará la misma cantidad de calor.

Esto se debe a que una resistencia más pequeña da un tiempo de carga más corto y, por lo tanto, una corriente más alta. En este caso particular, no hay forma de conectarse al caso en$R=0$- y ese caso no tiene sentido de todos modos.

Probablemente sientas que te estoy engañando al hacer esto. ¿Qué pasaría si hicieras todo con superconductores? Bueno, la resistencia interna de la batería, que es imprescindible en cualquier fuente química, se interpondrá en el camino. De hecho, ninguna fuente de corriente eléctrica puede proporcionar una cantidad finita de carga en tiempo cero.

Básicamente, sin embargo, esto se debe a que los electrones tardan en llegar desde la fuente hasta el capacitor. En el límite donde esto sucede muy rápido, entonces tienes cargas desequilibradas que viajan y aceleran, y deben detenerse repentinamente en las placas del capacitor. Como señaló BMS en un comentario , esto inevitablemente irá acompañado de la emisión de radiación electromagnética. La conclusión de esto es que no hay forma de cargar transitoriamente un capacitor sin desperdiciar energía.

Por otro lado, hay una manera de cargar un capacitor de manera que toda la energía gastada por la batería se almacene en el capacitor, y eso es haciéndolo lentamente en lugar de repentinamente. Es decir, aumentas el voltaje de la batería adiabáticamente en muchos pequeños pasos.$\Delta V$, y esperando un tiempo$\tau\gg RC$entre pasos para que los voltajes se equilibren. Te dejaré los detalles precisos a ti, pero resulta que en el límite de la carga lenta (es decir,$\tau/RC\to\infty$) la resistencia no desperdicia energía. Finalmente, es bastante fácil ver que aumentar el voltaje lentamente significará que la energía entregada por la fuente de corriente ahora será$\tfrac12 QV$, ya que ahora se traza un triángulo en lugar de un cuadrado en el$(Q,V)$avión.

Otra forma de ver esto es darse cuenta de que cada vez que mueves una carga, generas un campo magnético. Incluso un cable recto tendrá una cierta cantidad de autoinducción.

Inicialmente, esto proporcionará un límite en cuanto a qué tan rápido puede aumentar la corriente. A medida que los voltajes se igualan, la interacción con el campo magnético hará que la corriente continúe aumentando, aunque más lentamente, y cuando los dos capacitores estén al mismo voltaje, la corriente será máxima. El colapso del campo magnético continuará forzando la carga del primer condensador al segundo, hasta que se haya transferido toda la carga. Luego, el proceso se invertirá hasta que el primer capacitor esté completamente cargado y el segundo esté vacío. La forma exacta de la curva de corriente será, de hecho, una onda sinusoidal.

Cuando los dos condensadores tienen la misma carga, la energía que falta$\frac{1}{2} CV^2$está contenido en el campo magnético,$\frac{1}{2} LI^2$.

Todo esto ignora la realidad de la energía radiada, por supuesto, pero sirve a este nivel de descripción.