Método de carga de imagen para conductor cilíndrico.

La razón por la que el método de las imágenes es fácilmente aplicable en el caso de la esfera o del plano es que utiliza las simetrías del operador de Laplace

$$\Delta\Phi=\frac{\partial^2\Phi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\Phi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2\Phi}{\partial z^2}$$ o en las coordenadas esféricas $$\Delta\Phi=\frac{1}{r}\frac{\partial^2}{\partial r^2}(r\Phi)+\frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial\Phi}{\partial\theta}\right)+\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2\Phi}{\partial\phi^2}$$

que aparece en la ecuación del potencial

$$\Delta\Phi=-4\pi\rho$$

Primero tienes las rotaciones, desplazamientos y reflejos. El rasgo común de todas estas transformaciones es que conservan la métrica$ds^2=dx^2+dy^2+dz^2$. Para ellos tenemos la siguiente propiedad,

$$\Delta \Phi({\bf x})=-4\pi\rho({\bf x})\Rightarrow \Delta \Phi({\bf x}')=-4\pi\rho({\bf x}')$$ dónde ${\bf x}'$es una coordenadas transformadas en función de no transformadas $\bf{x}$. Entonces, por ejemplo, si conoce el potencial $\Phi(x,y,z)$de la distribución de carga $\rho(x,y,z)$también sabes que el potencial $\Phi(x,y,-z)$corresponde a la distribución de carga $\rho(x,y,-z)$.

Sin embargo, podemos expandir esta clase incluyendo un mapeo más general: transformaciones conformes. No conservan la métrica, sin embargo, solo la multiplican en alguna función,

$$ds^2=dx^2+dy^2+dz^2\mapsto (ds')^2=g(x',y',z')^2\left((dx')^2+(dy')^2+(dz')^2\right)$$ Entonces no conservan las distancias pero conservan los ángulos. Obviamente, incluyen las rotaciones, los cambios y los reflejos y, de hecho, todos pueden representarse como su combinación con una transformación adicional llamada inversión. $$r\mapsto \frac{R^2}{r}$$ Ahora, para esta transformación, la ecuación de Laplace cambia un poco más, $$\Delta\Phi(r,\theta,\phi)=-4\pi\rho(r,\theta,\phi)\Rightarrow \Delta\tilde{\Phi}(r,\theta,\phi)=-4\pi\tilde{\rho}(r,\theta,\phi),$$ dónde $$\tilde{\Phi}(r,\theta,\phi)=\frac{R}{r}\Phi\left(\frac{R^2}{r},\theta,\phi\right), \tilde{\rho}(r,\theta,\phi)=\left(\frac{R}{r}\right)^5\rho\left(\frac{R^2}{r},\theta,\phi\right)$$ Para carga puntual en $r=a$eso significa (gracias a las propiedades de la función delta) que $\tilde{q}=q\frac{R}{a}$

Ahora cómo funciona el método de carga de imágenes. Debe realizar la transformación conforme que intercambiará un lado con otro mientras conserva la forma de la superficie Y el potencial en ella. Para la placa es fácil: solo use la reflexión. Para la esfera también es fácil, solo usa la inversión. Hovewer para cilindro no existe tal transformación conforme que no vuelva a escalar el$z$¡coordinar! Eso significa que no existe una forma trivial de obtener la distribución de carga reproduciendo el campo de la carga puntual dentro del cilindro.

La única forma que veo es calcularlo directamente usando la expansión de la función de Green en términos de la función de Bessel

$$\frac{1}{|\bf{x}-\bf{x}'|}=\frac{2}{\pi}\sum_{m=-\infty}^{+\infty}\int_0^{+\infty}dk e^{im(\phi-\phi')}\cos[k(z-z')]I_m(k\rho_<)K_m(k\rho_>)$$ Sin embargo, jugando un poco con él ahora no pude llegar a ninguna buena respuesta. Será bueno que pueda obtener la representación de $\rho$como una serie sin integrales. Como resultado, es mucho más fácil calcular el campo de la carga puntual dentro del cilindro sin pensar en absoluto en las cargas de la imagen.

Por otro lado para la línea homogénea en el cilindro el campo no depende de$z$así que puedes usar la inversión en el$xy$avión sin preocuparse por el reescalado del$z$. Por eso es fácil encontrar la imagen para la línea pero no para la carga puntual en el caso del cilindro.

Puede existir un cargo de imagen para la interfaz del cilindro, pero es mucho más complicado. En primer lugar, dado que la geometría es menos simétrica en comparación con la esfera o el plano, la imagen se distribuirá en un plano, es decir, será una "densidad de carga de la superficie de la imagen". En segundo lugar, la obtención analítica de la fórmula de la imagen parece extremadamente difícil, debido a las funciones de Bessel involucradas en la formulación de coordenadas cilíndricas.

Pero aún así, hay algunos trabajos académicos al respecto, por ejemplo,

https://link.springer.com/article/10.1007/s10915-011-9567-2

https://www.cambridge.org/core/journals/communications-in-computational-physics/article/image-charge-method-for-reaction-fields-in-a-hybrid-ionchannel-model/D42DFF0470BBAB075810A7AC889A033A

Se involucra alguna técnica numérica para obtener la fórmula de la imagen, aproximadamente.

Este trabajo es una investigación sobre la naturaleza de la imagen de una carga puntual sobre el eje del cilindro:

https://www.researchgate.net/publication/338881609_The_image_of_a_point_charge_in_an_infinite_conducting_cylinder?showFulltext=1&linkId=5e30d95f458515072d6aab92

Encuentra que la imagen está formada por una carga de superficie de disco que se extiende hasta el infinito desde un radio de 2 veces el radio del cilindro, también con anillos singulares de radio 2,4,6... . Los anillos de imagen son aparentemente equivalentes a cargas puntuales colocadas en un espacio complejo, pero la carga superficial es algo caótica.

Para una carga puntual fuera del eje, la imagen es aún más caótica.