Conmutación de hamiltoniano con impulso

Cuando el hamiltoniano es invariante bajo traslaciones. Para ver esto, recuerda que$P$es el generador infinitesimal de traslaciones. Como muestra, por ejemplo, Dirac en Lectures on Quantum Mechanics, cualquier generador infinitesimal de una simetría conmuta con el hamiltoniano, que en sí mismo es el generador de las traslaciones temporales, es decir, de la dinámica.

Ejemplos típicos de un hamiltoniano que conmuta con$P$es la partícula libre, o más generalmente cualquier función admisible de$P$solo. El QHO es un ejemplo en el que dicha conmutación no se cumple, ya que el potencial armónico claramente rompe la simetría en la traducción (y, por supuesto, una función de las posiciones$Q$podría no poder viajar con$P$).

Aquí hay una prueba rápida:

$$\begin{equation} [\hat H, \hat p] = [\hat T+ V, \hat p] \\ =[\dfrac{\hat p^2}{2m}+ V, \hat p] \\ =[\dfrac{\hat p^2}{2m}, \hat p] + [V, \hat p] \\ \end{equation}$$ Tenga en cuenta que aquí, en general, el potencial es una función de x, es decir$V(x)$. Usando la propiedad de los conmutadores que: $$[AB, C] =A[B,C]+[A,C]B$$

Además, usando el resultado de que para cualquier función$f$:

$$[f, \hat p]=i \hbar \dfrac{\partial f}{\partial x}$$

Obtenemos:

$$\begin{equation} [\hat H, \hat p] = \dfrac{1}{2m}(\hat p[\hat p,\hat p]+[\hat p,\hat p]\hat p)+i \hbar \dfrac{\partial V}{\partial x} \end{equation}$$

¡El operador viaja consigo mismo! entonces$[\hat p, \hat p]=0$:

$$\begin{equation} [\hat H, \hat p] = i \hbar \dfrac{\partial V}{\partial x} \end{equation}$$

Si$\dfrac{\partial V}{\partial x}=0$, es decir$V$no tiene una dependencia explícita de$x$, entonces:

$$\begin{equation} [\hat H, \hat p] = 0 \end{equation}$$

El operador hamiltoniano para un sistema mecánico cuántico está representado por la unidad imaginaria multiplicada por la derivada temporal parcial. El impulso es proporcional al gradiente. Cuando derivas un sistema con respecto a dos variables independientes (que es lo que hace la derivada parcial, ignora tu posición en función del tiempo), no importa con respecto a cuál lo derivas primero.

Por lo tanto, la derivada del tiempo y el gradiente conmutan.

Dado que los coeficientes de proporcionalidad son escalares constantes, también conmutan con las dos derivadas, haciendo que todo se anule y dé cero. No sé cómo hacer ecuaciones aquí, así que esto es lo mejor que puedo darte a menos que funcione:

$$\begin{align}[P_j,H]\psi &=-i\hbar\frac{\partial}{\partial x_j}i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi-i\hbar\frac{\partial}{\partial t}(-i\hbar)\frac{\partial}{\partial x_j}\psi\\ &=\hbar^2\left(\frac{\partial}{\partial x_j}\frac{\partial}{\partial t}-\frac{\partial}{\partial t}\frac{\partial}{\partial x_j}\right)\psi\\ &=\hbar^2\left[\frac{\partial}{\partial x_j},\frac{\partial}{\partial t}\right]\psi\end{align}$$ pero$t$y$x_j$(el$j^\text{th}$variable espacial donde$x_1$es el$x$-coordinar,$x_2=y,\ x_3=z$) son tratados de forma independiente por las derivadas parciales (si se derivó completamente$\frac{d}{dt}$entonces convertirías algunas coordenadas espaciales en velocidad y tal) lo que significa que$\left[\frac{\partial}{\partial x_j},\frac{\partial}{\partial t}\right]=0$. Por eso$[P_j,H]=0$y$[\vec{P},H]=\vec{0}$.