Condiciones de contorno periódicas vs abiertas

Responder a tal pregunta varía en dificultad de un sistema a otro. Sin embargo, esta historia es rigurosamente conocida y comprobada en el ejemplo no trivial más simple: el modelo de Ising clásico en 2D (el argumento también funciona en el caso más simple del modelo de Ising clásico en 1D, pero entonces el fenómeno no describirá el efecto límite de cualquier modelo cuántico de interés):

$$\begin{align*} Z&=\sum_{\{s_{ij}\}}e^{-\beta S}\\ &~~~~~~~~S= \sum_{i,j\,\in \,L}\,(J_x\,s_{ij}\,s_{ij+1}+J_y\,s_{ij}\,s_{i+1\,j})\\ \end{align*}$$

el enrejado$L$es semi-infinito (es decir, tiene un límite a la izquierda) y se visualiza a continuación:

Entonces podemos imaginarnos tomando un observable local$\mathcal O$(cuyo soporte se visualiza a continuación :) y formando el traductor$T_j(\mathcal O)$de lo observable$j$unidades a granel:

Si imaginamos tomar el valor esperado de tal observable en el límite que$j$tiende a infinito, recuperamos el valor esperado de ese mismo observable, pero evaluado en el plano completo. Este es el valor límite termodinámico del observable, y se conoce la velocidad de aproximación:

$$\begin{align*} \langle T_j(\mathcal O)\rangle-\langle T_\infty(\mathcal O)\rangle\sim\,\,\, O(e^{-j/\zeta})\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\tag{1}\\ \end{align*}$$ dónde $\zeta$es la longitud de correlación en el modelo masivo. Esta es la primera afirmación que desea probar:

(1) como$N\to \infty$, cualquier observable que solo mire la mayor parte no se ve afectado por las condiciones de contorno.

Bosquejo de la prueba matemática de (1)

Daré un bosquejo de la demostración de (1). Comenzamos reescribiendo la función de partición en términos de la matriz de transferencia, que actúa sobre el espacio de Hilbert de configuraciones de una sola columna en la red:

$$\begin{align*} Z&=\lim_{N\to\infty}\sum_{\{s_0\},\, \{s_N\}}\, \langle \{s_0\}|T^N|\{s_N\}\rangle,\,\,\,\,\,\,\,\,\\ &\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,T:=e^{-\beta \sum_jJ_x\sigma^x_j\sigma^x_{j+1}}\cdot e^{-\beta \sum_jJ_y\sigma^z_j}\\ \end{align*}$$ Aquí, $\{s_0\},\{s_N\}$denotan configuraciones de espines en la columna límite y la columna a granel, respectivamente. Si tenemos un observable local en el plano semi-infinito, entonces su valor puede expresarse en términos de la matriz de transferencia $T$como sigue: En ecuaciones: $$\begin{align*} \langle T_j(\mathcal O)\rangle&=\lim_{N\to\infty}\frac{\sum_{\{s_0,s_N\}}\langle\{s_0\}|T^j\,\widehat O T^{N-j} |s_N\rangle}{\sum_{\{s_0\}}\langle\{s_0\}|T^N|\{s_N\}\rangle}\\ \end{align*}$$ Inmediatamente, podemos ver visualmente por qué el límite es irrelevante: en la fase de alta temperatura del modelo, $T$tiene huecos y tiene un vector propio máximo único. Realizar el límite termodinámico semi-infinito reemplaza $T$con proyección sobre su vector propio máximo, que denotamos por $|GS\rangle$: $$\begin{align*} T^j=|GS\rangle\langle GS|+O(e^{-j/\zeta}) \end{align*}$$ dónde $1/\zeta$Sea la brecha entre el valor propio más grande y el segundo más grande de $T$. Por lo tanto, sustituyendo esto en el observable, $$\begin{align*} \langle T_j(\mathcal O)\rangle&=\frac{\sum_{\{s_0,s_N\}}\langle\{s_0\}|GS\rangle \langle GS|\,\widehat O|GS\rangle\langle GS |s_N\rangle}{\sum_{\{s_0\}}\langle\{s_0\}|GS\rangle \langle GS|\{s_N\}\rangle} + O(e^{-j/\zeta})=\langle GS|\widehat{\mathcal O}|GS\rangle+O(e^{-j/\zeta}) \end{align*}$$ Comparemos esto con el resultado que habríamos obtenido en el bulto: $$\begin{align*} \langle \mathcal O\rangle_\text{bulk}&:=\lim_{j\to \infty}\langle T_j( \mathcal O)\rangle = \langle GS|\widehat{\mathcal O}|GS\rangle. \end{align*}$$ Al restar esto del finito- $j$resultado, esto termina la prueba de (1) en el caso simple $T>T_c$, al mostrar que el rango característico de los efectos de límite en los observables locales es igual a la longitud de correlación global.

De manera similar, utilizando este argumento de convergencia de la matriz de transferencia, se puede establecer:

(2) como$N\to \infty$, la superposición del estado fundamental del sistema periódico y el estado fundamental del sistema abierto va a 1.

(3) como$N\to \infty$, la matriz de densidad reducida en la masa no depende de las condiciones de contorno.

Nuevamente, como en la prueba de (1), reemplazamos$T^j \sim |GS\rangle \langle GS|$por$j$suficientemente largo. Nuevamente, el ingrediente clave aquí es la convergencia de los poderes de la matriz de transferencia$T^j$, que pierde cualquier "memoria" de efectos/ordenamiento de tamaño finito como$j\to \infty$.

Extensión a un sistema cuántico a temperatura cero

Habiendo esbozado una prueba rápida de la intuición "los efectos de límite no importan" en un entorno clásico, en realidad es trivial generalizar esto para cuantificar el efecto de límite en un estado fundamental cuántico. En realidad, no necesitamos rehacer la prueba; en cambio, trasladamos la prueba al entorno cuántico utilizando la correspondencia cuántica-clásica , que establece, aproximadamente, que

$$\{\text{$d+1$-dim'l Classical system at $T>0$}\}\leftrightarrow \{\text{$d$-dim'l Quantum system at $T=0$}\}$$

Por lo tanto, para probar (1-3) para un estado fundamental cuántico, basta con utilizar el mapeo cuántico-clásico. Por ejemplo, para el caso del modelo Ising de campo transversal (TFIM) 1+1D, aplicamos la transformación de Suzuki-Trotter con paso de tiempo$\Delta \tau>0$a la función de partición cuántica

$$Z=\lim_{\beta\to \infty}\text{tr}(e^{-\beta H_{TFIM}}),$$ que produce una familia de acciones efectivas $\{S[\Delta\tau]\}_{\Delta\tau}$que describe las correlaciones estadísticas de un campo de Ising discreto en una red cilíndrica de espacio-tiempo. La familia de acciones efectivas es: $$\begin{align*} S[\Delta\tau]\underset{\,\,\Delta\tau\to \,0\,\,}{\sim} \sum_{j\tau}(J[\Delta\tau]\,s_{j\tau}s_{j+1\tau}+J_\perp[\Delta\tau]\, s_{j\tau}s_{j\tau+\delta\tau})\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,.\\ \end{align*}$$ Por supuesto, el efecto límite en el modelo cuántico es precisamente el efecto límite en el modelo clásico 2D, que limitamos en los argumentos anteriores (usando la matriz de transferencia).

Más allá de este ejemplo ilustrativo

Espero que a estas alturas esto esté claro: usando la poderosa combinación de la correspondencia clásica cuántica con el método de matriz de transferencia (todos los métodos estándar en el conjunto de herramientas de materia condensada), uno puede cuantificar los efectos de frontera en una amplia clase de estados fundamentales cuánticos, lejos más allá del ejemplo aquí con el TFIM 1+1D. De todos modos, espero que esta respuesta explique por qué los físicos tienen la intuición que tienen, y también demuestre que una prueba matemática del efecto límite, al menos en un entorno bastante general de sistemas de espín separados "trotterizables" con interacciones de vecinos más cercanos, está bien establecido (o al menos debería estarlo) en la literatura.

Matemáticamente, una función periódica, que satisface ciertas condiciones generales, puede expandirse en series de Fourier . Cuando se trata de una función no periódica, definida en un intervalo, aún se puede continuar periódicamente más allá del intervalo de interés y expandirse en series de Fourier, que aún representarían fielmente esta función en el intervalo. Se puede entonces proceder de dos maneras:

• El enfoque matemático es tomar el límite de un intervalo infinitamente amplio, en cuyo caso hacemos la transición de la serie de Fourier a la transformada de Fourier . La transición no está exenta de trampas, pero ha sido tratada rigurosamente en muchos libros de texto de matemáticas, en particular los que tratan sobre análisis complejo.
• El enfoque físico es considerar un intervalo lo suficientemente grande como para que la discreción y otros efectos de las condiciones de contorno no importen; de hecho, en física siempre tenemos energía, tiempo, espacio y otras escalas que limitan nuestra precisión, ya sea debido a algunas propiedades de la sistema (las interacciones o los efectos se ignoran en el modelo, también conocida como temperatura cero está por encima de la temperatura de Kondo ) o debido a las limitaciones inherentes a las mediciones. Aunque esto puede parecer menos riguroso que el razonamiento matemático, seguramente nos dará resultados (físicamente) correctos.

Observaciones: el razonamiento anterior es fácilmente aplicable a los sistemas de celosía, donde la transformada de Fourier se convierte en transformada de Fourier discreta .