¿Inconsistencia en el formalismo lagrangiano vs hamiltoniano?

Question

¿Inconsistencia en el formalismo lagrangiano vs hamiltoniano?

Física
mecanica clasica
dinámica restringida
formalismo lagrangiano
formalismo hamiltoniano
deberes-y-ejercicios

donnydm

¿Pueden los formalismos lagrangianos y hamiltonianos conducir a soluciones diferentes?

Tengo un sistema simple descrito por el Lagrangiano

L (η, \dot{η}, θ, \dot{θ}) = η \dot{θ} + 2 θ^{2} .

$\begin{equation} L(\eta,\dot{\eta},\theta,\dot{\theta})=\eta\dot{\theta}+2\theta^2. \end{equation}$ Las ecuaciones de movimiento se obtienen a partir de la ecuación de Euler-Lagrange:

\begin{array}{rcl} 4 θ - \dot{η} = 0 a norte d \dot{θ} = 0, \end{array}

$\begin{eqnarray} 4\theta-\dot{\eta}=0\; \mathrm{and}\; \dot{\theta}=0, \end{eqnarray}$ dando la solucion

η (t) = 4 θ_{0} t + η_{0}

$\eta(t)=4\theta_0t+\eta_0$ dónde

η_{0}

$\eta_0$ y

θ_{0}

$\theta_0$ son constantes.

Pero cuando obtengo una de las ecuaciones de movimiento del hamiltoniano (a través de la transformación de Legendre),

H = (\frac{\partial L}{\partial \dot{η}}) \dot{η} + (\frac{\partial L}{\partial \dot{θ}}) \dot{θ} - L = - 2 θ^{2},

$\begin{equation} H=\left(\frac{\partial L}{\partial\dot\eta}\right)\dot\eta+\left(\frac{\partial L}{\partial\dot\theta}\right)\dot\theta - L =-2\theta^2, \end{equation}$

\dot{η} = \frac{\partial H}{\partial {pag}_{η}} = 0,

$\begin{equation} \dot\eta=\frac{\partial H}{\partial p_\eta}=0, \end{equation}$ la situación es sorprendentemente diferente del enfoque lagrangiano porque

η

$\eta$ ahora es una constante!

¿Alguien puede dar una explicación adecuada para esta inconsistencia? ¿Estoy haciendo algo mal aquí?

qmecanico

Sugerencias: 1. Para empezar, existe una restricción principal

p_{η} \approx 0

$p_{\eta}\approx 0$ . 2. Analizo este ejemplo en mi respuesta Phys.SE aquí .

jamals

En la parte superior de mi cabeza, tenga en cuenta que como lo calculó,

\frac{\partial L}{\partial \dot{η}} = 0

$\frac{\partial L}{\partial \dot \eta} = 0$ y entonces

p_{η} = 0

$p_\eta = 0$ . Como tal,

H

$H$ no puede escribirse como una función única de

p_{η}

$p_\eta$ en ningún sentido, y no creo que

\frac{\partial H}{\partial p_{η}}

$\frac{\partial H}{\partial p_\eta}$ estaría bien definido.

lalala

Trate de calcular

p_{η}

$p_\eta$ ist cero. Por lo tanto, no puede expresar la velocidad en términos de los momentos. Esto se llama un sistema de restricciones. Dirac escribió un pequeño libro sobre cómo lidiar con eso (dado que la electrodinámica también es un sistema de restricciones, esto es relevante para la física)

Respuestas (1)

¿Inconsistencia en el formalismo lagrangiano vs hamiltoniano?

Sugerencias: 1. Para empezar, existe una restricción principal $p_{\eta}\approx 0$ . 2. Analizo este ejemplo en mi respuesta Phys.SE aquí .
En la parte superior de mi cabeza, tenga en cuenta que como lo calculó, $\frac{\partial L}{\partial \dot \eta} = 0$ y entonces $p_\eta = 0$ . Como tal, $H$ no puede escribirse como una función única de $p_\eta$ en ningún sentido, y no creo que $\frac{\partial H}{\partial p_\eta}$ estaría bien definido.
Trate de calcular $p_\eta$ ist cero. Por lo tanto, no puede expresar la velocidad en términos de los momentos. Esto se llama un sistema de restricciones. Dirac escribió un pequeño libro sobre cómo lidiar con eso (dado que la electrodinámica también es un sistema de restricciones, esto es relevante para la física)

JG · Answer 1

El problema aquí es que, debido a que existen restricciones de la forma $f(q,\,p)=0$ , las coordenadas del espacio de fase de la formulación hamiltoniana habitual no son independientes. No estoy seguro de cómo encontró este Lagrangiano, pero este problema es un contratiempo común en el electromagnetismo y (si me permite un ejemplo más oscuro) la cuantificación BRST. La buena noticia es que todavía puedes formar una descripción hamiltoniana equivalente a la lagrangiana. El truco consiste en agregar términos adecuados al hamiltoniano "ingenuo", como se explica aquí , y como resultado, los corchetes de Poisson se actualizan a lo que se denomina corchetes de Dirac.

Para su problema, el hamiltoniano completo es $H=-2\theta^2+c_1 p_\eta+c_2( p_\theta-\eta)$ , donde el $c_i$ quedan por calcularse como funciones de coordenadas espaciales de fase indiferenciadas. De hecho $c_1=\frac{\partial H}{\partial p_\eta}=\dot{\eta}=4\theta$ mientras $c_2=\frac{\partial H}{\partial p_\theta}=\dot{\theta}=0$ , entonces $H=-2\theta^2+4\theta p_\eta$ . Puedes verificar que esto te da las ecuaciones correctas de movimiento.

¡Gracias! En realidad, es parte de NLS Lagrangian perturbado después de un intento de encontrar una solución utilizando el método variacional. ¿El procedimiento de Dirac cubre todos los Lagrangianos de formas 'irregulares'?
@donnydm Dado cualquier Lagrangiano con ecuaciones de movimiento consistentes, esta técnica garantizará una formulación hamiltoniana equivalente, aunque si hay derivadas de orden superior, también necesita un truco debido a Ostrogradski. (Un ejemplo de un lagrangiano inconsistente es $L=q$ .)

¿Inconsistencia en el formalismo lagrangiano vs hamiltoniano?

donnydm

qmecanico

jamals

lalala

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JG

donnydm

JG

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