¿Por qué C=q/VC=q/VC=q/V es constante para un capacitor?

La prueba completamente general es un poco sutil e involucra las propiedades de las soluciones a la ecuación de Laplace. Aquí hay un boceto de la misma.

Imagine que tenemos dos conductores de forma arbitraria. hacemos un cargo$+Q$en el conductor #1, y$-Q$en el conductor #2. Estas cargas se distribuirán de una manera particular, dando lugar a cargas superficiales$\sigma_1(\vec{r})$y$\sigma_2(\vec{r})$, respectivamente. Tomamos el punto de referencia para nuestro potencial ($V = 0$) para estar en el infinito. Cuando hagamos esto, dará lugar a un potencial en todas partes del espacio; podemos llamar a esto nuestra "solución de referencia"$V(\vec{r})$. Esta función satisfará la ecuación de Laplace ($\nabla^2 V = 0$) en todas partes en el espacio; también será satisfactorio$\hat{n} \cdot \nabla V = -\sigma_1/\epsilon_0$en la superficie del conductor #1 y$\hat{n} \cdot \nabla V = -\sigma_2/\epsilon_0$en la superficie del conductor #2.

Ahora, supongamos que miramos una nueva función$V'(\vec{r}) = \alpha V(\vec{r})$, dónde$\alpha$es cualquier número real. Esto significa que hemos multiplicado la diferencia de potencial entre los conductores por$\alpha$. ¿Qué distribución de carga en los conductores dará lugar a esto? Bueno, en la superficie del conductor #1, tenemos

$$\sigma'_1 = -\epsilon_0\hat{n} \cdot \nabla V' = -\alpha \epsilon_0 \hat{n} \cdot \nabla V =\alpha \sigma_1,$$ y de manera similar $\sigma'_2 = \alpha \sigma_2$. En otras palabras, las distribuciones de carga se multiplican por $\alpha$en todas partes de la superficie de ambos conductores. En particular, esto implica que las cargas totales en los conductores son $\pm Q' = \pm \alpha Q$; y así la diferencia de potencial es siempre proporcional a la cantidad de carga en los conductores.

Es posible que le preocupe que esta sea solo una forma posible de que la carga se distribuya en los conductores; tal vez cuando duplicamos la carga total en un conductor, se concentra más en algunas partes del conductor y permanece pequeña en otras partes, en lugar de duplicar uniformemente la densidad en todas partes de la superficie. Pero hay un teorema de unicidad al que podemos apelar:

En un volumen rodeado de conductores, el campo eléctrico se determina únicamente si se da la carga total de cada conductor. (La región como un todo puede estar delimitada por otro conductor, o no delimitada).

(De Introducción a la electrodinámica de Griffiths , §3.1.6)

Como encontré una solución donde la carga neta se multiplica por$\alpha$en los conductores, puedo decir que por el teorema de unicidad anterior, esta es la única forma posible de que la carga se distribuya en los conductores y, por lo tanto, la diferencia de potencial entre los conductores también debe multiplicarse por$\alpha$.

La idea detrás de que la relación de carga a diferencia de potencial sea constante para un capacitor es que si la carga en el capacitor cambia por un factor de$k$, entonces en todos los puntos del capacitor, los elementos de carga cambiarán (intuitivamente) proporcionalmente, es decir, por el factor$k$. Esto se deriva del hecho de que inicialmente las fuerzas sobre los elementos de carga eran cero y cuando se cambia la carga, las fuerzas siguen siendo cero (si las fuerzas iniciales no hubieran sido cero, cambiando la carga por el factor$k$habría cambiado las fuerzas por un factor$k^2$, pero cuando las fuerzas iniciales son cero, un factor de escala no las afectará ya que algo multiplicado por cero es simplemente cero), por lo que las cargas solo aumentan/disminuyen, no hay redistribución de cargas. Y como señala Michael Seifert en su respuesta, el teorema de unicidad asegura que esta posible distribución de carga sea la única distribución de carga posible cuando se cambia la carga del capacitor.

Seguiré adelante con una prueba rigurosa: Sea el capacitor compuesto por dos conductores$C_1$y$C_2$de forma arbitraria, con superficies$S_1$y$S_2$respectivamente.

si el capacitor tiene carga$q_{initial}$inicialmente, uno puede escribir el potencial de un punto$P$de$C_1$como

$$V_P = \int_{S_1} \frac{dq}{4 \pi \epsilon_0 \ r} + \int_{S_2} \frac{dq}{4 \pi \epsilon_0 \ r}$$ ( $r$siendo el vector de posición de $P$con respecto al elemento de carga $dq$. Y desde $C_1$es un conductor, $V_p=V_{C_1}$. De este modo, $(V_{C_1})_{initial} = \int_{S_1} \frac{dq}{4 \pi \epsilon_0 \ r} + \int_{S_2} \frac{dq}{4 \pi \epsilon_0 \ r}$.

Si ahora cambiamos la carga del capacitor por un factor de$k$, entonces todos los elementos de carga cambiarán por el mismo factor. Ahora,

$$(V_{C_1})_{final} = \int_{S_1} \frac{k \ dq}{4 \pi \epsilon_0 \ r} + \int_{S_2} \frac{k \ dq}{4 \pi \epsilon_0 \ r} = k \ (V_{C_1})_{initial}$$ Se puede demostrar de manera similar que $(V_{C_2})_{final} = k \ (V_{C_2})_{initial}$.

Observa ahora que

$$\frac{q_{final}}{(V_{C_1})_{final}-(V_{C_2})_{final}} = \frac{k \ q_{initial}}{k \ (V_{C_1})_{initial}- k \ (V_{C_2})_{initial}} = \frac{q_{initial}}{(V_{C_1})_{initial}-(V_{C_2})_{initial}}$$

Claramente, de la ecuación anterior,$\frac{q}{V}$permanece constante para el condensador.