Conciliación de fórmulas de Wikipedia para la dilatación del tiempo debido a la gravedad y la velocidad

Wikipedia " dilatación del tiempo " muestra la fórmula 1 − v 2 − v mi 2 − v r 2 . v mi 2 / ( 1 − v mi 2 ) donde v es (quizás) la velocidad 3D, v mi es la velocidad de escape newtoniana, v r es la velocidad radial.
Sin embargo, " Proper time " parece mostrar la fórmula. 1 − v mi 2 − v r 2 / ( 1 − v mi 2 ) − v pag 2 dónde v pag es la velocidad perpendicular al vector de gravedad (es decir, tangencial).
(todas las velocidades están normalizadas contra c y en tiempo coordinado para un observador estacionario distante)
La segunda fórmula parece funcionar mejor. Para un objeto que cae con la velocidad adecuada ( r s / r ) y coordinar la velocidad v r = ( 1 − r s / r ) ( r s / r ) (por @John Rennie), la dilatación del tiempo cae a cero en el horizonte de eventos, r = r s . Para un objeto en órbita circular con la velocidad adecuada ( r s / 2 r ) / ( 1 − r s / r ) y coordinar la velocidad v pag = ( r s / 2 r ) [Raine & Thomas p.36], la dilatación del tiempo cae a cero en r = ( 3 / 2 ) r s .
Agradecería cualquier ayuda para aclarar esto.

Aquí hay un tutorial de MathJax .
Simplemente encierre todas las fórmulas con un signo de dólar y coloque una contragolpe delante de cada "sqrt" para intentarlo.
Y un _ para un subíndice.

Respuestas (1)

Esto resulta ser solo álgebra. " v " es de hecho la velocidad 3D que se puede expresar en términos de las velocidades radial y tangencial (perpendicular al campo): v 2 = v r 2 + v pag 2 .
Entonces, comenzando con la primera expresión
1 − v 2 − v mi 2 − v r 2 . v mi 2 / ( 1 − v mi 2 )
= 1 − v r 2 − v pag 2 − v mi 2 − v r 2 . v mi 2 / ( 1 − v mi 2 )
= 1 − v pag 2 − v mi 2 − v r 2 − v r 2 . v mi 2 / ( 1 − v mi 2 )
= 1 − v pag 2 − v mi 2 − v r 2 ( 1 + v mi 2 / ( 1 − v mi 2 ) )
= 1 − v pag 2 − v mi 2 − v r 2 / ( 1 − v mi 2 )
= 1 − v mi 2 − v r 2 / ( 1 − v mi 2 ) − v pag 2
cual es la segunda expresion

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