Efectos de la dilatación del tiempo en el centro de un sistema binario de agujeros negros

Imagine dos agujeros negros idénticos en una órbita circular, y Alice está justo en el medio del sistema (en el baricentro). Bob está en el infinito.

Supongamos que Alice y Bob están estacionarios el uno respecto del otro. Alice no experimenta ninguna aceleración neta (por estar en el baricentro del sistema).

¿Experimenta Alice alguna dilatación del tiempo en relación con Bob?

Aquí hay algunos argumentos de por qué no debería hacerlo:

  1. Alice es estacionaria en relación con Bob, por lo que no hay efectos relativistas especiales.

  2. Alice no está acelerando, por lo que, según el principio de equivalencia, no está experimentando efectos gravitatorios y, por lo tanto, no hay dilatación del tiempo.

Sin embargo, esto parece una conclusión equivocada porque todavía está atrapada en el pozo gravitacional de este sistema binario y requiere una velocidad de escape distinta de cero para salir del sistema y encontrarse con Bob.

En la literatura, mucha discusión sobre la dilatación del tiempo habla sobre la velocidad de escape, que es sencilla cuando se habla de masas individuales esféricamente simétricas, pero no estoy seguro de cómo se aplica a este sistema.

Por supuesto, la resolución aquí podría ser que ambos no experimenten ninguna dilatación de tiempo relativa, pero cualquier señal que intenten enviarse entre sí siempre será desplazada hacia el rojo gravitacionalmente. Y no hay forma de que se reúnan y comparen relojes que muestran el mismo paso del tiempo.

No dijiste qué tan cerca se orbitan los agujeros negros. Considere que, ya sea un agujero negro o una estrella, realmente no hace la diferencia. La masa del cuerpo y la distancia orbital son todo lo que realmente importa. Por ejemplo, un agujero negro con una masa solar podría reemplazar a nuestro sol y la mecánica del sistema solar no cambiaría en gran medida. Sería muy frío y oscuro, pero el tiempo y el espacio alrededor de la Tierra no serían diferentes de lo que son ahora.
Como muchos, parece estar confundiendo la aceleración gravitacional con el potencial. La dilatación del tiempo es efectivamente el potencial gravitacional, por lo que la aceleración es proporcional al gradiente de la dilatación del tiempo, pero no al valor de la dilatación del tiempo. Por ejemplo, la dilatación del tiempo en el centro de la Tierra es la más alta mientras que la aceleración gravitatoria allí es cero.

Respuestas (3)

Supongamos que la órbita es muy grande, por lo que podríamos aplicar la teoría linealizada en el centro. La métrica del espacio-tiempo es entonces

(1) d s 2 ≈ ( 1 + 2 ϕ ) d t 2 − ( 1 − 2 ϕ ) ( d X 2 + d y 2 + d z 2 ) ,
dónde ϕ es el potencial newtoniano. Para dos agujeros negros en la órbita circular:
(2) ϕ = ∑ k ϕ k = − 2 GRAMO METRO r .
La dilatación del tiempo se define mediante la siguiente fórmula (para observadores estacionarios en el centro y en el infinito):
(3) d τ = gramo 00 d t ≈ ( 1 + ϕ ) d t .
Entonces, el retardo de tiempo del observador central sería
(4) Δ τ ≈ 2 GRAMO METRO r Δ t .
Observe que si la órbita es muy grande de modo que r ≫ 2 GRAMO METRO , entonces Δ τ ≈ 0 . La dilatación del tiempo sería despreciable.

Entonces, en el espíritu de la pregunta original: si la órbita es pequeña, ¿el observador central experimentará la dilatación del tiempo?
@XYZT, sí, debería haber una dilatación del tiempo.
@XYZT La primera oración de esta respuesta sugiere que no se aplica en absoluto a órbitas pequeñas: "Supongamos que la órbita es muy grande...".

Para su ejemplo particular, la pregunta es: "¿el espacio-tiempo se curva más en la ubicación de Alice que en la de Bob", o de manera equivalente, "¿el potencial gravitacional es mayor para Alice que para Bob"? Y la respuesta es "sí": de hecho, Alice necesitaría energía para ir a visitar a Bob. Ella está ubicada en un máximo local de potencial, pero no en un máximo global. Entonces ella experimenta la dilatación del tiempo en relación con Bob.

La dilatación del tiempo tiene más que ver con el potencial gravitacional que con la aceleración (para ser muy precisos, se trata de la longitud del camino a través del espacio-tiempo). La aceleración no tiene efecto sobre la dilatación del tiempo, excepto en la medida en que cambia la velocidad instantánea del objeto; este es el postulado del reloj y ha sido verificado experimentalmente en aceleradores de partículas, donde las partículas experimentan literalmente millones de g de aceleración pero su dilatación del tiempo en relación con el marco del laboratorio se debe enteramente a su velocidad.

El principio de equivalencia dice que hay una especie de pseudopotencial creado en un sistema de coordenadas en aceleración (como un sistema de coordenadas que se mueve junto con un cohete en aceleración). Es decir, de hecho se necesita energía para que alguien en la parte inferior de un cohete en aceleración se mueva hacia la cima. Pero desde la perspectiva de un observador externo, los diferentes tiempos contados por los relojes en la parte superior e inferior del cohete se deben a sus diferentes caminos a través del espacio-tiempo, que solo se debe indirectamente a la aceleración.

Una respuesta parcial / comentario extendido.

Piense en cómo un observador dilatado en el tiempo debe observar fuentes de luz distantes para cambiar al azul a la cantidad de su dilatación de tiempo.

Por ejemplo: Supongamos que Bob ve a Alice subirse a una nave espacial azul y volar a su posición, mientras que Alice ve a Bob preparar un láser rojo. Bob ve que la nave espacial de Alice se vuelve roja gradualmente a medida que llega allí. Cuando Alice llega a su posición, Bob apunta con su láser a su nave espacial.

Alice ve un láser azul que se refleja en su nave y regresa a Bob. Bob ve un láser rojo reflejado en una nave espacial roja. Pero Alice sabe que el láser de Bob es rojo en el marco de Bob y Bob sabe que la nave espacial de Alice es azul en el marco de Alice. Si cualquiera de ellos hace el cálculo, encontrarán que el láser rojo se desplazó en frecuencia por + Δ v mientras viajaba de Bob a Alice, luego por − Δ v mientras viajaba de regreso de Alice a Bob. La razón del cambio de frecuencia es el trabajo: el campo gravitatorio realiza trabajo sobre el haz cuando va de Bob a Alice, y el haz realiza trabajo sobre el campo gravitatorio cuando va de Alice a Bob.

El cambio en la energía del fotón es proporcional al cambio en la frecuencia: Δ T = h Δ v . La energía se conserva. Por lo tanto, si conocemos el trabajo por unidad de masa-energía requerido para mover una parcela de masa-energía de un punto a otro, conocemos el factor de dilatación del tiempo entre esos puntos, independientemente del valor del vector de (pseudo)fuerza gravitatoria en cualquier punto.

Esto es incorrecto. Los fotones no cambian de frecuencia en vuelo y el campo gravitatorio no realiza trabajo sobre el haz. Los efectos de cambio de rojo y azul se deben exclusivamente a la diferencia en los marcos de referencia. Cuando se mide en el mismo marco, no hay corrimiento al rojo o al azul gravitacional. Por ejemplo, en el marco de Bob, los fotones de su láser tienen la misma frecuencia, energía y color cuando golpean a Alice que tenían en la emisión cerca de Bob. Parece que estás confundiendo la relatividad general con la gravedad newtoniana. En GR, la gravedad no es una fuerza, por lo que no realiza trabajo.
No estoy confundiendo nada. Las pseudofuerzas realizan un trabajo igual a su integral de distancia medida por un marco para el cual se mide la pseudofuerza. Alice y Bob miden la pseudofuerza de la gravedad, y aunque Alice mide un universo de longitud contraída radialmente, su marco dilatado en el tiempo mide una pseudofuerza recíprocamente más rápida , de modo que su integral y la de Bob son idénticas.
Si, por ejemplo, arrojas un meteorito gigante sobre un planeta, los dinosaurios encontrarán poco consuelo en el hecho de que el meteorito gigante realmente estaba viajando a la misma distancia. C en línea recta hacia un espacio-tiempo futuro en el que el meteoro y los dinosaurios estaban en el mismo lugar al mismo tiempo. El trabajo realizado por el campo gravitatorio medido por los dinosaurios realmente vaporiza a los dinosaurios, ya sea real en un sentido metafísico o no.
Todavía estás confundiendo la relatividad general con la gravedad newtoniana. La fuente de la energía cinética del meteoro en GR no es el trabajo realizado por el campo como en la gravedad newtoniana, sino un defecto de masa como resultado de la dilatación del tiempo. No estoy seguro de lo que quiere decir con las mismas integrales para Bob y Alice, pero miden una energía diferente del mismo fotón. La energía de un fotón se conserva en el espacio-tiempo de Schwarzschild cuando se mide correctamente en el mismo marco, no en diferentes marcos (por ejemplo, primero Bob, luego Alice).
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