Con respecto a la energía cinética de rotación total

Aquí, aunque es un cuerpo rígido, no puedes usar$KE_{TOT} = \frac{1}{2}M{v^2}_{cm}+\frac{1}{2}I\omega ^2$porque las partículas más cercanas al eje mayor (Radio$R$) se mueven más lento que los que están lejos. Entonces debemos encontrar KE_TOT como:

$KE_{TOT} = \frac{1}{2}I_o{\omega_o}^2 + \frac{1}{2}I_p{\omega_p}^2$........(1)

El momento de inercia de la esfera con respecto a$O$es$\frac{2}{5}Mr^2 + MR^2$y$\omega_o$es$\frac{V}{R}$

Momento de inercia sobre$P$es$\frac{2}{5}Mr^2$y$\omega_p$es$\frac{V}{r}$

sustituyendo en (1)

$KE_{TOT}$

$= \frac{1}{2}\left(\frac{2}{5}Mr^2 + MR^2 \right) {\left(\frac{v}{R}\right)} ^2 + \frac{1}{2}\left(\frac{2}{5}Mr^2\right ) {\left(\frac{v}{r}\right )}^2$

$=\frac{7}{10}Mv^2 + \frac{1}{5}\frac{r^2}{R^2}v^2$

cual es el resultado correcto.

energía cinética igual a$\frac{1}{2}mV^2$, en general no es cierto para cuerpos que tienen dimensiones finitas en movimiento no rectilíneo. Use el teorema del eje paralelo para encontrar$K.E.$para la revolución de la esfera. Sin embargo, si la esfera fuera del tamaño de un punto, creo que su punto es válido.

¡Buen problema!

Tenga en cuenta que la velocidad angular de la esfera NO es$V/r$. Hay una componente de la velocidad angular dirigida a lo largo del eje vertical.

Imagina otro problema más simple. Es casi lo mismo, pero la esfera no está rodando sobre una mesa. Se desliza a lo largo de él.

Su energía cinética no sería$V^2/R$. Debido a que la esfera en realidad está girando, ¡lo verás si miras la esfera desde arriba!

ACTUALIZAR.

Fórmula$E=mv^2 + I\omega^2/2$(dónde$v$es la velocidad del centro de masa) es correcta. En este problema en particular es muy fácil cometer un error al calcular la velocidad angular$\omega$y así obtener una respuesta final incorrecta.

Parece que el eje de rotación de la esfera en cualquier momento es$OP$- la línea que pasa por$O$y centro de la esfera$P$. ¡Pero esto no es realmente así!

En el marco de referencia que no gira pero se mueve con la misma velocidad$\vec{v}$como centro de masa, la velocidad de cualquier punto del cuerpo es$\vec{v}(\vec{r}) = [\vec{w}*\vec{r}$] , dónde$\vec{r}$es un vector desde el centro de masa hasta nuestro punto del cuerpo. Para todos los puntos a lo largo del eje de rotación esta velocidad es cero.

En el marco de referencia original, todos estos puntos deberían tener la misma velocidad (igual que la velocidad del centro de masa).

Pero claramente las velocidades de diferentes puntos de esfera ubicados a lo largo del eje$OP$son diferentes - más lejos de$O$, mayor la velocidad. Entonces,$OP$no es el eje de rotación de la esfera!

Bueno, si entras en el marco de referencia que gira alrededor del punto$O$con velocidad angular$W=V/R$la velocidad de cada punto a lo largo de la$OP$sería cero. Este sería el eje de rotación de la esfera, y en este marco de referencia la velocidad angular de la esfera sería de hecho$V/r$. Y para encontrar la velocidad angular en el marco de referencia original necesitas sumar$\vec{w}$y$\vec{W}$- ¡pero recuerda que ambos son vectores y debes agregarlos como vectores!