Una ecuación diferencial parcial para una función vectorial y la restricción resultante entre sus componentes

Si tenemos una ecuación algebraica que conecta 3 variables X , y , z , como X 2 + y 2 + z 2 = 2 , podemos concluir inmediatamente que las 3 variables no son independientes. Ahora, considere la siguiente ecuación de Maxwell (diferencial parcial) en el vacío para el campo eléctrico mi :

∇ ⋅ mi ( r , t ) = 0.
¿Podemos concluir de manera similar de esto que los componentes del campo eléctrico, es decir, mi X ( r , t ) , mi y ( r , t ) , mi z ( r , t ) no son todos independientes?

Aquí está mi intento: en el espacio de Fourier,

mi ( r , t ) = ∫ d 3 k ( 2 π ) 3 / 2 mi i k ⋅ r mi ~ ( k , t )
y por lo tanto,
∇ ⋅ mi ( r , t ) = 0 ⇒ ∫ d 3 k ( 2 π ) 3 / 2 mi i k ⋅ r ( i k ) ⋅ mi ~ ( k , t ) = 0 ⇒ k ⋅ mi ~ = 0.
Por lo tanto,
k X mi ~ X ( k , t ) + k y mi ~ y ( k , t ) + k z mi ~ z ( k , t ) = 0
Por lo tanto, para un dado k , los componentes de mi ~ ( k , t ) están relacionados algebraicamente. Pero no pude derivar ninguna relación algebraica entre los componentes de mi ( r , t ) . Sin embargo, no me queda claro de inmediato si tal relación puede actuar como una restricción entre los componentes mi X ( r , t ) , mi y ( r , t ) y mi z ( r , t ) [ en el sentido de que la especificación de los valores de mi y ( r , t ) y mi z ( r , t ) determinará de manera única mi X ( r , t ) ].

Respuestas (3)

No existe tal ecuación algebraica: puede elegir un campo eléctrico con valores arbitrarios de los componentes en un punto y divergencia cero en todas partes.

@ akhmeteli ¿Quiere decir que no hay restricciones?
@SRS: quiero decir que no hay restricción algebraica, por lo que puedo ver.

Puede considerar la divergencia como una restricción diferencial: si ∇ ⋅ mi ( r , t ) = 0 , sabiendo mi y ( r , t ) y mi z ( r , t ) en todas partes impone una restricción a ∂ X mi X ( r , t ) , lo que significa que para cada y y z , mi X ( r , t ) se conoce hasta una constante. Por lo tanto, los 3 componentes no son independientes, aunque la restricción no es lo suficientemente fuerte para determinar mi X ( r , t ) únicamente

Anexo: En cuanto a la unicidad, si otro campo mi ′ satisface la misma restricción (divergencia libre y misma y y z componentes), entonces se sigue de ∂ X mi X ( r , t ) − ∂ X mi X ′ ( r , t ) = 0 eso

mi X ′ ( r , t ) = mi X ( r , t ) + gramo ( y , z )
dónde gramo es una función escalar arbitraria que no depende de X . Eso da la imagen completa de la consecuencia de la restricción.

Todo lo que ha hecho para derivar la ecuación (3) es una expansión de Fourier. Ha ilustrado esencialmente por qué las expansiones de Fourier son buenas cuando se trabaja con ecuaciones diferenciales, es porque mi k X es una función propia de ∂ ∂ X . Cuando utiliza el operador diferencial, ∇ , sobre sus funciones propias, actúa escalando la función (en este caso por k i ).

Esa es la razón por la que pudo derivar una relación algebraica al considerar la expansión de Fourier de mi , sino sólo (como señala Claude Chuber) una relación diferencial al considerar mi ( X ) .

Una ecuación diferencial parcial para una función vectorial y la restricción resultante entre sus componentes
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