Comprender el "ππ\pi" de un disco giratorio

Digamos que estás en un marco de referencia inercial con un disco plano circular. Si toma las varillas de medición de su medidor (o quizás una cinta métrica) puede encontrar el diámetro y la circunferencia del disco.

Entonces, las relaciones de distancia entre los constituyentes del borde del disco pueden determinarse con seguridad;
y se puede identificar un punto medio del disco (también en términos de relaciones de distancia, involucrando constituyentes del borde del disco).

Si divides la circunferencia por el diámetro, obtendrás exactamente$\pi$.

Por supuesto, el número$\pi$se define correspondientemente (por aproximación poligonal) en primer lugar.

Ahora empiezas a girar el disco.

En consecuencia, idealmente: los constituyentes del disco ahora se mueven a lo largo de círculos (con respecto al marco de referencia inercial dado, alrededor de un centro común), con duración constante$T$del período de rotación (medido por los miembros del marco de referencia inercial dado). Los constituyentes del borde del disco se mueven a velocidad constante a lo largo de un círculo del mismo diámetro.$2 R$como se había determinado anteriormente del disco mientras había estado en reposo.

Por lo tanto, los componentes del disco (incluido el centro de rotación) ya no están en reposo entre sí; permanecen (simplemente) rígidos entre sí , en el sentido cronométrico en que dos componentes del disco cualesquiera$A$y$B$seguir midiendo proporciones constantes de duraciones de ping entre sí,

$$\tau_{ABA} / \tau_{BAB} = \text{constant}.$$

Los valores de estas relaciones son generalmente diferentes de$1$, y diferentes entre sí. En particular, para el centro de rotación,$C$, y cualquier constituyente en el borde del disco,$E$, la proporción de duraciones de ping mutuas es

$$\tau_{ECE} / \tau_{CEC} = \sqrt{ 1 - \beta_E^2 } = \sqrt{ 1 - \left( \frac{2~\pi~R}{c~T} \right)^2 }.$$

Además, la proporción de duraciones de ping$\tau_{EAE} / \tau_{ECE}$alcanza su valor máximo si el constituyente del disco$A$está en el borde del disco moviéndose antípoda a$E$; y el valor máximo correspondiente es inferior a 2 . En realidad

$$\text{Max}[ \tau_{EAE} / \tau_{ECE} ] \approx 2 - \beta_E^2 + \frac{13}{12} \beta_E^4 - \frac{541}{360} \beta_E^6 + ...$$

Ahora, para adaptar la aproximación poligonal de$\pi$a estos constituyentes del disco mutuamente rígidos, y especialmente a los que forman el borde del disco, podemos considerar un gran número ($N$) de ellos distribuidos (como "marcas") uniformemente en el borde del disco, es decir, de manera que las duraciones de ping entre marcas adyacentes sean iguales.

Dejar$E$y$F$ser dos tales marcas adyacentes en el borde del disco. Entonces podemos considerar (por ejemplo) el número

$$2~\pi^C_{\beta} := N ~ \tau_{EFE} / \tau_{ECE}.$$

El número$\tau_{ECE} / \tau_{EFE}$también representa el número de conteos obtenidos por$E$de pings sucesivos (viajes de ida y vuelta de la señal) a$F$y de vuelta durante un solo ping al centro de rotación$C$y vuelta

Para evaluar esta razón, para números dados$N$y$\beta_E$, podemos considerar por separado el número$\#EFE_T$de pings sucesivos de$E$a$F$y atrás cual$E$está contando en el curso de una vuelta completa alrededor del centro$C$. Por supuesto, este número también se puede determinar sin ambigüedades en términos de cantidades que fueron medidas en su totalidad por miembros del marco de inercia dado (que pasaron por las marcas en el borde del disco). Es decir, establecer

$$x := 2~\pi~R / N,$$

$$x + t_{EF} ~c ~\beta = c~t_{EF}; \, \, \, \, \, t_{EF} = \frac{x}{c} \frac{1}{1 - \beta},$$

$$x = t_{FE} ~c ~\beta + c~t_{FE}; \, \, \, \, \, t_{FE} = \frac{x}{c} \frac{1}{1 + \beta},$$

$$t_{EFE} = t_{EF} + t_{FE} = \frac{2~x}{c} \frac{1}{1 - \beta^2},$$ y

$$\#EFE_T = T / t_{EFE} = \frac{2~\pi~R}{c~\beta}~c~\frac{1 - \beta^2}{2~x} = N~\frac{1 - \beta^2}{2~\beta}.$$

El otro valor relevante,$\#ECE_T$, cual$E$puede obtenerse directamente contando (y que también puede evaluarse sin ambigüedades desde la perspectiva del marco inercial) es la relación entre un número (grande) de pulsos sucesivos a$C$y atrás y el número correspondiente (también grande) de vueltas completas sucesivas. Obtiene obviamente:

$$\#ECE_T = \frac{2~\pi~R}{c~\beta} / \frac{2~R}{c} = \frac{\pi}{\beta}.$$

Insertando estos dos valores en el cálculo de$2~\pi^C_{\beta}$:

$$2~\pi^C_{\beta} := N ~ \tau_{EFE} / \tau_{ECE} = N ~ \frac{\#ECE_T}{\#EFE_T} = N ~ \frac{\pi}{\beta} \times \frac{1}{N}~\frac{2~\beta}{1 - \beta^2} = \frac{2~\pi}{1 - \beta^2} \gt 2~\pi.$$

Comparando en cambio con el "máximo antípoda":

$$\pi^A_{\beta} := N ~ \tau_{EFE} / \tau_{ECE} \times 1 / \text{Max}[ \tau_{EAE} / \tau_{ECE} ] = \frac{2~\pi^C_{\beta}}{\text{Max}[ \tau_{EAE} / \tau_{ECE} ]} \gt \pi^C_{\beta} \gt \pi.$$

Por lo tanto, para ambos casos (con la notación utilizada en la pregunta):

$$\pi_o > \pi.$$