Comportamiento de los agujeros negros en espacios-tiempos de dimensiones superiores e inferiores

En primer lugar, en dimensiones inferiores (2+1 y 1+1) la gravedad es mucho más sencilla. Esto se debe a que en el tensor de curvatura 3d está completamente definido por el tensor de Ricci (y métrico en un punto dado), mientras que en el tensor de curvatura 2d está completamente definido por la curvatura escalar. Esto significa que no hay grados de libertad dinámicos puramente gravitatorios, en particular, no hay ondas gravitatorias.

Nota general: el horizonte (que es la característica definitoria del agujero negro) que representa nuestra incapacidad para obtener información sobre los eventos que se encuentran debajo de él siempre implicaría la entropía de la solución correspondiente. Entonces, en todos los modelos de agujeros negros hay algo de termodinámica de agujeros negros. Para la radiación de Hawking, se deben tener en cuenta los efectos cuánticos y también los grados de libertad radiativos (si no hay gravitones o fotones o cualquier otro '-ons' que nada radiaría).

Comencemos con el caso de 3d (es decir, 2+1) . Las ecuaciones de Einstein en el espacio-tiempo 2+1 sin ningún campo de materia simplemente implicarían que el espacio-tiempo es plano, que está 'construido' a partir de piezas del espacio-tiempo de Minkowski. Puede tener una topología no trivial, por lo que la gravedad 2+1 es una teoría topológica , pero no existen soluciones de agujeros negros. Este modelo (en sentido matemático) es exactamente solucionable.

Para introducir soluciones 2+1 no triviales, podemos agregar materia o constante cosmológica (que podría considerarse la forma más simple de materia). Resulta que los espaciotiempos con constante cosmológica negativa (que localmente estarían compuestos por piezas de espaciotiempos anti-de-Sitter ) admiten la solución del agujero negro: agujero negro BTZ (nombre de los autores del artículo original). Esta solución comparte muchas de las características del agujero negro de Kerr: tiene masa y momento angular, tiene un horizonte de eventos, un horizonte interior y una ergosfera; ocurre como un punto final del colapso gravitacional (para eso, por supuesto, necesitamos incluir materia más allá de la constante cosmológica en la consideración); y tiene una temperatura de Hawking que no se desvanece y propiedades termodinámicas interesantes (ver, por ejemplo, el artículo de S. Carlip ). La temperatura de Hawking del agujero negro BTZ$T\sim M^{1/2}$que, en contraste con el caso de (3+1) dimensiones, tiende a cero cuando$M$disminuye Además, la simplicidad del modelo permite un tratamiento cuántico del mismo, incluido el cálculo estadístico de la entropía (véanse las referencias en el artículo de E.Witten ).

Hay muchas otras variaciones de soluciones en las teorías de la gravedad 2+1 (por ejemplo, al incluir campos de dilatón y EM , campos escalares , etc.), pero todos ellos requieren una constante cosmológica negativa. Esto se debe a que la condición de energía dominante prohíbe la existencia de agujeros negros en 2+1 dimensiones ( ver aquí ).

Ahora a 1+1 dimensiones. Localmente todos los modelos GR en 1+1D son planos. Entonces, para incluir geometría de espacio-tiempo no trivial, necesitamos modificar la gravedad. Esto se puede hacer incluyendo el campo de dilatación . Los modelos resultantes a menudo admiten geometrías no triviales con agujeros negros (consulte el artículo de Brown, Hennaux, Teitelboim , la página wiki sobre el modelo CGHS , el artículo de Witten sobre BH en el modelo WZW calibrado y esta revisión ). Estas soluciones de agujeros negros también admiten termodinámica no trivial y radiación de Hawking. En particular, la temperatura de Hawking es proporcional a la masa, por lo que a medida que el agujero negro se evapora se vuelve más frío (a diferencia del caso 4D donde$T \sim M^{-1}$).

Ahora a la gravedad dimensional superior. La gravedad en sí misma es mucho más rica que en los casos de dimensiones inferiores, por lo que también existen análogos de todos los agujeros negros 4D en dimensiones superiores, así como algunas soluciones nuevas similares a agujeros negros, como cuerdas negras y branas p negras . También hay configuraciones de múltiples agujeros negros en las que se colocan múltiples agujeros negros a lo largo del anillo o la línea de modo que la fuerza total sobre cada uno de ellos sea cero, lo que da como resultado una configuración de equilibrio. Dado que muchos teoremas de unicidad para agujeros negros solo funcionan para 3+1 dimensiones, incluso hay soluciones con topologías de horizontes no triviales, como los anillos negros.

Sugiero mirar el Living Review recomendado por Ben Crowell o estas conferencias de N. Obers .

El agujero negro más simple sería la solución de Schwarzschild-Tangherlini (análogo del agujero negro de Schwarzschild), que es una solución de vacío para las ecuaciones de campo de Einstein:

Aquí$\mu = R_s^{d-3} = \frac{16 \pi G M}{(d-2)\Omega_{d-2}}$es parámetro de masa. Esto nos da la relación entre la masa y el radio de Schwarzschild:$R_s \sim M^{1/(d-3)}$. La entropía viene dada por la fórmula de Bekenstein-Hawking:

$$S = \frac {\cal A}{4G}=\frac 14 \left(\frac{\Omega_{d-2} R_s^{d-2}}{ G} \right).$$ La temperatura se puede encontrar a partir de la primera ley. $dS = d M / T$: $$T = \frac{d-3}{4 \pi R_s}.$$

La solución rotativa (generalización de la métrica de Kerr) sería la métrica de Myers-Perry. Tenga en cuenta que las rotaciones en dimensiones más altas son más complejas, por lo que el momento angular está representado por varios parámetros.

También tenga en cuenta que muchas soluciones con horizontes alargados en una dirección (como cuerdas negras o anillos negros) resultan ser inestables a través de la inestabilidad de Gregory-Laflamme , donde el horizonte 'tubular' suave desarrolla perturbaciones crecientes de ciertas longitudes de onda. Entonces, posiblemente, las cuerdas negras y los anillos negros tenderían a descomponerse en gotitas como agujeros negros a lo largo de ellos (aún se desconoce la mecánica exacta). Pero, por supuesto, se observaría la segunda ley de la termodinámica, lo que significa que el área total de los horizontes aumentaría.