Transformación de coordenadas de campos escalares en QFT

Esto es lo que realmente está pasando. En la teoría de campos clásica, un conjunto básico de objetos que a menudo consideramos son campos escalares$\phi:M\to \mathbb R$donde$M$es un múltiple. Ahora podemos hacernos la siguiente pregunta:

¿Existe alguna noción natural de cómo un campo escalar definido en una variedad dada se "transforma" bajo una transformación de coordenadas?

Afirmo que la respuesta es sí, e intentaré justificar mi afirmación tanto matemática como físicamente. La conclusión es que, en última instancia, tenemos que definir la forma en que los campos se transforman bajo ciertos tipos de transformaciones, pero cualquier definición anterior no será necesariamente útil en matemáticas o física, por lo que debemos hacer definiciones bien motivadas y luego demostrar que son útil para modelar sistemas físicos.

Perspectiva matemática. (variedades y tablas de coordenadas)

Recuerde que un sistema de coordenadas (también conocido como gráfico de coordenadas) en un$n$multidimensional$M$es un mapeo (suficientemente suave)$\psi:U\to \mathbb R^n$donde$U$es un subconjunto abierto de$M$. Podemos usar tal sistema de coordenadas para definir una representación de coordenadas$\phi_\psi$del campo escalar$\phi$como

$$\begin{align} \phi_\psi = \phi\circ\psi^{-1}:V\to\mathbb R \end{align}$$ donde $V$es la imagen de $U$bajo $\psi$. Ahora vamos a dos sistemas de coordenadas $\psi:U_1\to \mathbb R^n$y $\psi_2:U_2\to\mathbb R^n$ser dado tal que $U_1\cap U_2\neq \emptyset$. La representación coordinada de $\phi$en estos dos sistemas de coordenadas es $\phi_1 = \phi\circ \psi_1^{-1}$y $\phi_2 = \phi\circ \psi_2^{-1}$.

Ahora considere un punto$x\in U_1\cap U_2$, después$x$está mapeado en algún punto$x_1\in \mathbb R^n$bajo$\psi_1$y hasta cierto punto$x_2\in \mathbb R^n$bajo$\psi_2$. Por lo tanto, podemos escribir

$$\begin{align} \phi(x) &= \phi \circ \psi_1^{-1} \circ \psi_1(x) = \phi_1(x_1) \\ \phi(x) &= \phi \circ \psi_2^{-1} \circ \psi_2(x) = \phi_2(x_2) \end{align}$$ de modo que $$\begin{align} \phi_1(x_1) = \phi_2(x_2) \end{align}$$ En otras palabras, el valor de la representación de coordenadas $\phi_1$evaluado en la representación de coordenadas $x_1 = \psi_1(x)$del punto $x$concuerda con el valor de la representación de coordenadas $\phi_2$evaluado en la representación de coordenadas $x_2 = \psi_2(x)$del mismo punto $x$. Esta es una forma de entender lo que significa que un campo escalar sea "invariante" bajo un cambio de coordenadas.

Si, en particular, la variedad$M$estamos considerando es$\mathbb R^{3,1} = (\mathbb R^4, \eta)$, a saber, el espacio de Minkowski de cuatro dimensiones, entonces podríamos considerar los siguientes dos sistemas de coordenadas:

$$\begin{align} \psi_1(x) &= x \\ \psi_2(x) &= \Lambda x+a \end{align}$$ donde $\Lambda$es una transformación de Lorentz y $a\in \mathbb R^4$, entonces las representaciones de coordenadas $\phi_1$y $\phi_2$de $\phi$están, como se señaló anteriormente, relacionados por $$\begin{align} \phi_1(x) = \phi_2(\Lambda x + a) \end{align}$$ Si cambiamos un poco la notación y escribimos $\phi_1 = \phi$y $\phi_2 = \phi'$, entonces esto se lee $$\begin{align} \phi'(\Lambda x +a) = \phi(x) \end{align}$$ que es la expresión estándar que verá en los textos de teoría de campos.

Perspectiva física.

Aquí hay una analogía de dimensiones inferiores. Imagina un campo de temperatura$T:\mathbb R^2 \to \mathbb R$en el plano que asigna un número real que interpretamos como la temperatura en cada punto de alguna superficie bidimensional. Suponga que este campo de temperatura es generado por algún aparato debajo de la superficie, y suponga que trasladamos el aparato por un vector$\vec a$. Ahora podríamos preguntarnos:

¿Cómo será el campo de temperatura producido por el aparato trasladado? Bueno, cada punto en la distribución de temperatura se traducirá por la cantidad$\vec a$. Así, por ejemplo, si el punto$\vec x_0$tiene temperatura$T(\vec x_0) = 113^\circ\,\mathrm K$, luego de que el aparato se traslada, el punto$\vec x_0 + \vec a$tendrá la misma temperatura$113^\circ\,\mathrm K$como el punto$\vec x_0$antes de que el aparato fuera traducido. La forma matemática de escribir esto es que si$T'$denota el campo de temperatura traducido, entonces$T'$está relacionado con$T$por

$$\begin{align} T'(\vec x+\vec a) = T(\vec x) \end{align}$$ Se podría hacer un argumento similar para un campo escalar en el espacio de Minkowski, pero en lugar de simplemente traducir algún aparato de temperatura, podríamos imaginarnos impulsar o traducir algo que produzca algún campo escalar de Lorentz, y estaríamos motivados para definir la ley de transformación de un escalar campo bajo la transformación de Poincaré como $$\begin{align} \phi'(\Lambda x+a) = \phi(x) \end{align}$$

Puede estar confundiendo lo que queremos decir cuando decimos que los campos escalares son invariantes . Bajo una transformación de Lorentz ($x\rightarrow x^\prime = \Lambda x$) el campo escalar ($\phi(x)$) se define para transformar como

$$\phi(x)\rightarrow\phi^\prime(x^\prime) = \phi(x) = \phi(\Lambda^{-1} x^\prime)$$ Entonces vemos que en las nuevas coordenadas $x^\prime$, nuestro campo escalar se ha transformado en $\phi^\prime(x^\prime) = \phi(\Lambda^{-1}x^\prime)$. Del mismo modo, bajo una traducción $x\rightarrow x^\prime = x - a$tenemos $$\phi(x)\rightarrow \phi^\prime(x^\prime) = \phi(x) = \phi(x^\prime+a)$$ o si $a$se toma como infinitesimal, encontramos a primer orden en $a$ $$\phi(x)\rightarrow \phi^\prime(x^\prime) = \phi(x^\prime+a) = \phi(x^\prime) + a^\mu\partial_\mu\phi(x^\prime)$$ En ambos ejemplos, el campo no se ha transformado (la transformación fue trivial), solo la forma en que representamos el punto. Queremos escribir el punto $x$en términos de nuestro nuevo sistema de coordenadas ( $x^\prime$) en cada caso, de donde procede esta expansión.