Esta pregunta tiene que ver con el concepto de principio de incertidumbre. El operador hamiltoniano tiene el componente electrónico que toma el inverso de la distancia entre dos electrones cualesquiera. Mi pregunta es: ¿no viola esto el principio de incertidumbre que dice que es imposible precisar la ubicación exacta de un objeto cuántico como los electrones? ¿Me estoy perdiendo de algo? Y si de hecho estamos hablando de los vectores de posición de los electrones y el núcleo, entonces la construcción del operador hamiltoniano es muy clásica.
No puedo ver la conexión. El operador hamiltoniano tiene una relación bien definida en términos de operadores de momento y coordenadas (y también giro) y, como tal, tiene un espectro espacial de Hilbert propio. Con respecto a esto podemos considerar medidas de energías de niveles atómicos/moleculares y discutir si los valores esperados de energía obedecen a ciertas desigualdades o no. Entonces tenemos "principios de incertidumbre" que involucran coordenadas y "principios de incertidumbre" que involucran hamiltonianos o ambos, pero el hecho de que .
Este problema del "principio de incertidumbre" no es más que un mito, es una interpretación de libro de texto intencionalmente confusa con alguna relación matemática (no tan simple). Su conexión con las configuraciones experimentales de la vida real no es del todo exacta, como se enseña/da la impresión en los libros de texto. La interpretación de Ensemble (Ballentine) de la Mecánica Cuántica es incluso drástica, por ejemplo, la medición de pues un observable cuántico que forma parte del "principio de incertidumbre" requeriría un conjunto infinito de sistemas cuánticos idénticamente preparados sobre los que una infinidad de observadores intentarían medir el mismo observable cuántico al mismo tiempo y con toda la infinidad de valores que obtienen , uno (de ellos) dibujaría un análisis estadístico que daría esta desviación cuadrática de la media. No hay conexión con la vida real aquí. La interpretación ingenua" significa que uno no puede medir el impulso y coordinar con precisión" es de nuevo un cuento de hadas torcido todavía, desafortunadamente, presente en la literatura...
Ahora, volvamos a su última pregunta: de hecho, la física atómica/molecular en ausencia de espín se formula a partir de un hamiltoniano clásico en términos de coordenadas y momentos clásicos (y la interacción clásica de Coulomb) que está "cuantizada", es decir, traída en el formalismo matemático de la Mecánica Cuántica [esta "cuantización" también es un mito, ya que los libros de texto generalmente instruyen al lector que cualquier sistema clásico es muy fácil de incorporar al dominio cuántico, todo lo que tenemos que hacer es usar conmutadores en lugar de corchetes de Poisson]. Las X y las P se convierten en operadores sujetos a estas "relaciones de incertidumbre", pero son parte del hamiltoniano general, por lo que cualquier propiedad individual ("incertidumbre") de ellos no es automáticamente una propiedad del hamiltoniano como un todo [piense en el armónico oscilador en 1D.
Creo que tenemos que dividir esto en un par de temas/áreas.
Primero se permite conocer la posición con una precisión arbitrariamente alta y no viola el principio de incertidumbre. La violación del principio de incertidumbre sería conocer la posición exactamente y aún tener algún conocimiento del impulso. Lo anterior comenzó matemáticamente:
En segundo lugar, todas las ecuaciones de la mecánica cuántica implican cálculos sobre ubicaciones precisas. Cuando tiene una distribución de probabilidad para la ubicación de una elección, calcula su posición promedio integrando la probabilidad en todo el espacio; es decir, para cada posición exacta posible, multiplica esa ubicación por la probabilidad de encontrar la elección allí. Siempre está utilizando ubicaciones precisas en estos cálculos: la incertidumbre se manifiesta en el hecho de que necesita considerar múltiples ubicaciones posibles.