¿Es posible formular el conjunto μVEμVE\mu VE?

Question

¿Es posible formular el conjunto μVEμVE\mu VE?

Ignacio

Recientemente aprendí sobre conjuntos en mecánica estadística, y he visto múltiples aplicaciones e interpretaciones de EVN (microcanónico), TVN (canónico), $\mu$ conjuntos VT (gran canónico) y NPT (isotérmico isobárico), también he aprendido que el $\mu$ El conjunto PT no existe. que pasa con el $\mu$ conjunto VE? ¿Es posible postularlo? ¿Puede haber un sistema que intercambie partículas con su entorno pero su energía sea fija? Me resulta difícil encontrar una forma física de hacer esto, pero parece que no hay mucho problema con las matemáticas.

Una búsqueda rápida en Google Scholar trajo solo una página que menciona este tipo de conjunto, una tesis doctoral sobre simulación molecular basada en él. ¿Significa esto que es posible formularlo pero no usarlo mucho?

Se podría plantear una pregunta similar acerca de la $\mu$ Ensamble de Educación Física, no he encontrado una sola publicación que haga referencia a él.

ellie

↓

$\downarrow$ ¿Es este el tipo de argumento que estabas buscando?

Ignacio

Supongo que sí, no estoy del todo convencido, sobre todo porque yo z

Ignacio

Lo siento, tuve algunos problemas con mi último comentario =P. Además, mientras lo escribía, me di cuenta de que su respuesta ES realmente lo que estaba buscando. Según tú, parece que puedes tener E, V,

μ / T

$\mu /T$ como variables naturales de un potencial, ¿diría usted que estos potenciales no se suelen utilizar porque son variables difíciles de controlar?

ellie

De hecho, especialmente manteniendo

μ / T

$\mu/T$ experimentalmente puede ser muy delicado, lo mismo ocurre con

E,

$E,$ en comparación con decir

N, V, T .

$N,V,T.$

Respuestas (2)

¿Es posible formular el conjunto μVEμVE\mu VE?

$\downarrow$ ¿Es este el tipo de argumento que estabas buscando?
Supongo que sí, no estoy del todo convencido, sobre todo porque yo z
Lo siento, tuve algunos problemas con mi último comentario =P. Además, mientras lo escribía, me di cuenta de que su respuesta ES realmente lo que estaba buscando. Según tú, parece que puedes tener E, V, $\mu /T$ como variables naturales de un potencial, ¿diría usted que estos potenciales no se suelen utilizar porque son variables difíciles de controlar?
De hecho, especialmente manteniendo $\mu/T$ experimentalmente puede ser muy delicado, lo mismo ocurre con $E,$ en comparación con decir $N,V,T.$

ellie · Answer 1

Todavía no he pensado lo suficiente en esto, pero a primera vista, diría que no, un potencial que tiene $\mu, V, E$ como variables naturales no sería válida. Un posible intento de obtener dicho potencial termodinámico $Q$ que es una función natural de $\mu,V,E$ , sería una transformada de Legendre de la entropía $S(E,V,N).$ Tenemos:

\begin{aligned} (1) & d S = \frac{1}{T} d mi + \frac{pag}{T} d V - \frac{m}{T} d norte \end{aligned}

$\begin{align} dS = \frac{1}{T}dE+\frac{p}{T}dV-\frac{\mu}{T}dN \tag{1} \end{align}$

Introduzcamos una nueva variable para $\mu/T,$ decir $\gamma.$ Entonces, si tratas de escribir $Q$ como una transformada de Legendre de $S:$

\begin{aligned} q & = S + γ norte \\ d q & = d S + d (γ norte) \\ = \frac{1}{T} d mi + \frac{pag}{T} d V + d γ norte \end{aligned}

$\begin{align} Q &= S+\gamma N \\ dQ &= dS + d(\gamma N)\\ &= \frac{1}{T}dE+\frac{p}{T}dV+d\gamma N \end{align}$ Lo que significa que en el mejor de los casos puedes tener un potencial

Q (E, V, μ / T)

$Q(E,V,\mu/T)$ esa es una función natural de la energía interna, el volumen y la relación del potencial químico con la temperatura. entropía

S

$S$ es un potencial termodinámico válido, por lo tanto, una transformada de Legendre válida de

S

$S$ sería uno que no contiene más o menos información que

S .

$S.$ Así que si

Q (E, V, μ / T)

$Q(E,V,\mu/T)$ contiene la misma información que

S,

$S,$ seguramente un potencial

X (E, V, μ)

$X(E,V,\mu)$ no puedo.

En cuanto a su última pregunta, supongo que podría decir que si el argumento anterior es cierto, entonces $X(E,V,\mu)$ no puede existir ni su Legendre se transforma, es decir $Y(\mu,P,E)=X-pV$ tampoco puede ser un potencial termodinámico válido.

Volviendo a esta pregunta después de cinco años, me di cuenta de que es trivial crear un potencial termodinámico que es una transformación legendaria de la energía y es una función de las variables. $(S, V, \mu)$ , este potencial sería $\Phi = U - \mu T$ , Entonces debería ser posible codificar toda la información del sistema allí, ¿verdad? Además, sé que las transformadas legendre de la entropía están más naturalmente relacionadas con los conjuntos, pero nunca vi una prueba definitiva de que si una transformada de entropía dada no existe, entonces su conjunto asociado tampoco...
Sigo pensando que su respuesta es bastante buena, esa es probablemente la razón por la que el conjunto no existe, me pareció interesante que me perdí este hecho en ese momento.

guía · Answer 2

A partir de la expresión de entropía

$dS=\frac{1}{T}dU+\frac{p}{T}dV-\frac{\mu}{T}dN$

podemos introducir una nueva variable $L=U-\mu N$ , con $dL=dU-Nd\mu -\mu dN$ . La inserción da:

$dS=\frac{1}{T}dL+\frac{N}{T}d\mu +\frac{p}{T}dV$

Esto significa que podemos definir un conjunto con las variables $L=U-\mu N$ , $\mu$ y $V$ . Lo más importante es que este es un ejemplo de un sistema adiabático (solo intercambio de materia, pero no intercambio de calor con el medio ambiente). Esto se puede ver, por ejemplo, al darse cuenta de que al mantener estas 3 variables constantes:

$dL=0=dU-\mu dN\Rightarrow dU=\mu dN$

Esto significa que el intercambio de energía solo es posible a través de la transferencia de materia, no existe la posibilidad de simplemente intercambiar calor.

Ver también:

https://aip.scitation.org/doi/pdf/10.1063/1.442566

y la imagen para ilustrar:

¿Es posible formular el conjunto μVEμVE\mu VE?

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ellie

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