Invariancia galileana de un subconjunto de ecuaciones de Maxwell

Question

Invariancia galileana de un subconjunto de ecuaciones de Maxwell

Física
electromagnetismo
ecuaciones de maxwell
relatividad especial
relatividad galileana

rogelio molina

Leí en la prueba de Feynman de las ecuaciones de Maxwell la afirmación de que el subconjunto de las ecuaciones de Maxwell proviene de la identidad de Bianchi:

\nabla \cdot B = 0, \nabla \times mi + \frac{1}{C} \frac{\partial B}{\partial t} = 0

$\nabla \cdot {\bf B} = 0, \quad \nabla \times {\bf E} + \frac{1}{c}\frac{\partial {\bf B} }{\partial t} = 0$ es en realidad invariante bajo transformaciones de Galileo. Se me ocurrió este razonamiento, ¿es correcto o me estoy perdiendo algo?

Primero $c$ tiene que asumirse una constante, de lo contrario no funcionará, creo que el autor asume esto, aunque no lo dice.

Una transformación galileana, digamos en el $x$ eje, transforma $x' = x -ut$ , $z'=z$ , $y'=y$ , $t' =t$ . No mezcla campos eléctricos y magnéticos, por lo que solo mezclan componentes entre ellos. La matriz de transformación para el campo eléctrico, digamos, será

{mi}_{i}^{'} (X^{'}) = \frac{\partial X^{k}}{\partial X^{' i}} {mi}_{k} (X) = {mi}_{i} (X)

$E'_i (x') = \frac{\partial x^k}{\partial x'^i} E_k(x) = E_{i}(x)$ y algo idéntico para el campo magnético. También los derivados se transformarán trivialmente

\nabla = \nabla^{'}, \frac{\partial}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t^{'}}

$\nabla =\nabla', \quad \frac{\partial {\bf } }{\partial t} = \frac{\partial {\bf } }{\partial t'}$ por lo que la invariancia sigue fácilmente.

Luego, el autor dice que todo el conjunto de ecuaciones de Maxwell no es invariante debido al término de corriente de desplazamiento. No entiendo esta declaración. Presuntamente se refiere a la existencia de ondas electromagnéticas que se propagan con velocidad. $c$ y esto no será constante bajo las transformaciones de Galileo, aparte de que las ecuaciones conservarían su misma forma debido al argumento que di arriba.

Pero si empezáramos a suponer $c$ no es una constante, entonces ni siquiera podríamos probar la invariancia de las dos primeras ecuaciones (el punto es quizás que en tal caso no podemos interpretar $c$ como la velocidad de algo?).

qmecanico

Comentario menor a la publicación (v1): en el futuro, enlace a páginas de resumen en lugar de archivos pdf, por ejemplo, arxiv.org/abs/hep-ph/0106235

rogelio molina

No sabía que se debía hacer de esa manera, disculpas.

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Invariancia galileana de un subconjunto de ecuaciones de Maxwell

Comentario menor a la publicación (v1): en el futuro, enlace a páginas de resumen en lugar de archivos pdf, por ejemplo, arxiv.org/abs/hep-ph/0106235

usuario8817 · Answer 1

Veamos sus propias declaraciones .

Primero , la derivada del tiempo después de las transformaciones no es igual a una derivada "antigua": para $\mathbf r' = \mathbf r - \mathbf u t = \mathbf r - \mathbf u t' \Rightarrow \mathbf r = \mathbf r' + \mathbf u t'$

\partial_{t^{'}} = (\partial_{t^{'}} r) \partial_{r} + (\partial_{t^{'}} t) \partial_{t} = (tu \cdot \nabla) + \partial_{t}, (tu \cdot \nabla) = {tu}^{i} \partial_{X_{i}} .

$\partial_{t'} = (\partial_{t'}\mathbf r )\partial_{\mathbf r} + (\partial_{t'}t) \partial_{\mathbf t} = (\mathbf u \cdot \nabla ) + \partial_{t}, \quad (\mathbf u \cdot \nabla ) = u^{i}\partial_{x_{i}} .$ Entonces, con

\nabla^{'} = \nabla

$\nabla ' = \nabla$ , las ecuaciones de "Bianchi" se transforman en

(\nabla \cdot B^{'}) = 0, [\nabla \times {mi}^{'}] + \frac{1}{C} \partial_{t} B^{'} + \frac{1}{C} (tu \cdot \nabla) B^{'} = 0. (.1)

$(\nabla \cdot \mathbf B') = 0 , \quad [\nabla \times \mathbf E '] + \frac{1}{c}\partial_{t}\mathbf B' + \frac{1}{c}(\mathbf u \cdot \nabla)\mathbf B ' = 0. \qquad (.1)$ En segundo lugar , la forma de

E^{'} (r^{'}, t^{'}), B^{'} (r^{'}, t^{'})

$\mathbf {E}'(\mathbf r', t'), \mathbf B ' (\mathbf r ' , t')$ no es igual a

E (r, t), B (r, t)

$\mathbf E (\mathbf r , t), \mathbf B (\mathbf r , t)$ . Usemos la expresión de la fuerza de Lorentz,

F = q mi + \frac{q}{C} [v \times B] .

$\mathbf F = q\mathbf E + \frac{q}{c}[\mathbf v \times \mathbf B ].$ No depende de la aceleración, por lo que la afirmación de que

F^{'} = F

$\mathbf F ' = \mathbf F$ bajo transformación galileana es verdadera. Esto significa que

mi + \frac{1}{C} [v \times B] = {mi}^{'} + \frac{1}{C} [v^{'} \times B^{'}] .

$\mathbf E + \frac{1}{c}[\mathbf v \times \mathbf B] = \mathbf E ' + \frac{1}{c}[\mathbf v ' \times \mathbf B'].$ Al usar la transformación galileana para la velocidad,

v^{'} = v - u

$\mathbf v' = \mathbf v - \mathbf u$ , esta ecuación se puede reescribir como

mi + \frac{1}{C} [v \times B] = {mi}^{'} + \frac{1}{C} [v \times B^{'}] - \frac{1}{C} [tu \times B^{'}], (.2)

$\mathbf E + \frac{1}{c}[\mathbf v \times \mathbf B] = \mathbf E ' + \frac{1}{c}[\mathbf v \times \mathbf B '] - \frac{1}{c}[\mathbf u \times \mathbf B'], \qquad (.2)$ entonces la afirmación de que

E = E^{'}, B = B^{'}

$\mathbf E = \mathbf E ' , \quad \mathbf B = \mathbf B '$ no es correcto Así que necesitas encontrar expresiones

E^{'}

$\mathbf E '$ y

B^{'}

$\mathbf B'$ a través de

E

$\mathbf E$ ,

B

$\mathbf B$ .

reescribiendo $(.2)$ ,

mi + \frac{1}{C} [v \times (B - B^{'})] = {mi}^{'} - \frac{1}{C} [tu \times B^{'}],

$\mathbf E + \frac{1}{c}[\mathbf v \times (\mathbf B - \mathbf B' )] = \mathbf E ' - \frac{1}{c}[\mathbf u \times \mathbf B '] ,$ en una razón de arbitrariedad

u

$\mathbf u$ Puedes obtener la solución:

B^{'} = B, {mi}^{'} = mi + \frac{1}{C} [tu \times B] .

$\mathbf B' = \mathbf B , \quad \mathbf E' = \mathbf E + \frac{1}{c}[\mathbf u \times \mathbf B ].$ Sustituyendo estas ecuaciones por

(.1)

$(.1)$ conseguirás

(\nabla \cdot B) = 0, [\nabla \times mi] + \frac{1}{C} [\nabla \times [tu \times B]] + \frac{1}{C} \partial_{t} B + \frac{1}{C} (tu \cdot \nabla) B = [\nabla \times mi] + \frac{1}{C} \partial_{t} B = 0,

$(\nabla \cdot \mathbf B)= 0 , \quad [\nabla \times \mathbf E] + \frac{1}{c}[\nabla \times [\mathbf u \times \mathbf B]] + \frac{1}{c}\partial_{t}\mathbf B + \frac{1}{c}(\mathbf u \cdot \nabla) \mathbf B = [\nabla \times \mathbf E] + \frac{1}{c}\partial_{t}\mathbf B = 0,$ Porque para

u = c o n s t

$\mathbf u = const$

[\nabla \times [tu \times B]] = tu (\nabla \cdot B) - (tu \cdot \nabla) B = - (tu \cdot \nabla) B .

$[\nabla \times [\mathbf u \times \mathbf B]] = \mathbf u (\nabla \cdot \mathbf B) - (\mathbf u \cdot \nabla )\mathbf B = - (\mathbf u \cdot \nabla )\mathbf B .$ Entonces, el primer par de ecuaciones de Maxwell es claramente invariante bajo transformaciones galileanas.

Veamos el otro par de ecuaciones de Maxwell :

[\nabla \times B] - \frac{1}{C} \partial_{t} mi = 0, (\nabla \cdot mi) = 0 . (.3)

$[\nabla \times \mathbf B] - \frac{1}{c}\partial_{t}\mathbf E = 0 , \quad (\nabla \cdot \mathbf E ) = 0 . \qquad (.3)$ Al usar las expresiones que se derivaron anteriormente, puede reescribir

(.3)

$(.3)$ como

[\nabla \times B] - \frac{1}{C} \partial_{t} {mi}^{'} - \frac{1}{C} (tu \cdot \nabla) {mi}^{'} =

$[\nabla \times \mathbf B] - \frac{1}{c}\partial_{t}\mathbf E ' - \frac{1}{c}(\mathbf u \cdot \nabla)\mathbf E' =$

= [\nabla \times B] - \frac{1}{C} \partial_{t} mi - \frac{1}{C} (tu \cdot \nabla) mi - \frac{1}{C^{2}} \partial_{t} [tu \times B] - \frac{1}{C^{2}} (tu \cdot \nabla) [tu \times B] = 0,

$=[\nabla \times \mathbf B] - \frac{1}{c}\partial_{t}\mathbf E - \frac{1}{c}(\mathbf u \cdot \nabla)\mathbf E - \frac{1}{c^{2}}\partial_{t}[\mathbf u \times \mathbf B] - \frac{1}{c^{2}}(\mathbf u \cdot \nabla)[\mathbf u \times \mathbf B]= 0,$

(\nabla \cdot mi) + \frac{1}{C} (\nabla \cdot [tu \times B]) = (\nabla \cdot mi) - \frac{1}{C} (tu \cdot [\nabla \times B]) = 0 .

$(\nabla \cdot \mathbf E ) + \frac{1}{c}(\nabla \cdot [\mathbf u \times \mathbf B]) = (\nabla \cdot \mathbf E ) -\frac{1}{c}(\mathbf u \cdot [\nabla \times \mathbf B]) = 0 .$ El requisito de la invariancia galileana de la segunda ecuación conduce al estado de que

\frac{1}{c} (u \cdot [\nabla \times B])

$\frac{1}{c}(\mathbf u \cdot [\nabla \times \mathbf B])$ , lo cual no es cierto en el caso general. El razonamiento analógico se puede utilizar para la primera ecuación.

Entonces, el segundo par de ecuaciones de Maxwell no es invariante bajo transformaciones de Galileo.

@PhysiXxx Realmente, muy buena respuesta. Si puedo sugerir algo, estaría feliz de ver la transformación galileana de las fuentes. $j^{\prime}=j$ y $\rho^{\prime}=\rho + v\cdot j$ , ya que las leyes de Ampère-Maxwell y Gauss son ecuaciones con fuentes. Agregar las fuentes, por supuesto, no cambiará en absoluto ni su razonamiento ni su conclusión. Otra observación posiblemente interesante para Rogelio Molina: la invariancia galileana de la ley de Faraday se utiliza para demostrarla en el libro de Jackson, en el capítulo sobre inducción (sección 5.15 titulada Ley de Faraday ) .

Oliver Fabio Piatella · Answer 2

La respuesta ya dada es muy clara, pero me gustaría abordar el siguiente punto.

las transformaciones

$\mathbf B' = \mathbf B , \quad \mathbf E' = \mathbf E + \frac{1}{c}[\mathbf u \times \mathbf B ]$

se obtienen de

$\mathbf E + \frac{1}{c}[\mathbf v \times (\mathbf B - \mathbf B' )] = \mathbf E ' - \frac{1}{c}[\mathbf u \times \mathbf B ']$

a través del siguiente razonamiento. $\mathbf v$ es la velocidad de la partícula cargada, que es una partícula de prueba. Como tal, no puede afectar a los campos, es decir, $\mathbf E$ , $\mathbf E'$ , $\mathbf B$ y $\mathbf B'$ no dependas de $\mathbf v$ . Además, $\mathbf u$ es arbitrario y no depende de $\mathbf v$ . Por lo tanto, debemos deshacernos de $\mathbf v$ en

$\mathbf E + \frac{1}{c}[\mathbf v \times (\mathbf B - \mathbf B' )] = \mathbf E ' - \frac{1}{c}[\mathbf u \times \mathbf B ']$

y esto se obtiene exigiendo que

$\mathbf B' = \mathbf B$

que es de hecho uno de nuestra transformación, el otro sigue inmediatamente a la sustitución.

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