¿En qué subcampos y hasta dónde se puede llevar el límite ingenuo c→∞c→∞c\rightarrow\infty de la relatividad especial?

Question

¿En qué subcampos y hasta dónde se puede llevar el límite ingenuo c→∞c→∞c\rightarrow\infty de la relatividad especial?

Nikolaj-K

Incluso si se han resuelto muchas similitudes interesantes entre el marco clásico y el de la mecánica cuántica, por ejemplo, en el tema de la cuantización de la deformación, en general, hay algunos problemas matemáticos. Y en la formulación convencional, no quieres hacer cosas como $\hbar\rightarrow 0$ para la expresión $P=-\text i\hbar\tfrac{\partial}{\partial x}$ .

En relatividad especial hay muchas fórmulas donde se obtiene la fórmula no relativista tomando el límite ingenuo $c\rightarrow \infty$ , p.ej

\vec{pag} = \frac{metro \vec{v}}{\sqrt{1 - | v | / C}} \to \frac{metro \vec{v}}{\sqrt{1 - 0}} = metro \vec{v} .

$\vec p=\frac{m\vec v}{\sqrt{1-|v|/c}}\ \rightarrow\ \frac{m\vec v}{\sqrt{1-0}}=m\vec v.$

Me pregunto si es saber que siempre puedes hacer eso. ¿Existe una formulación de la relatividad especial (quizás ya sea la estándar), en la que los supuestos/axiomas/representaciones iniciales de los objetos del discurso involucren la constante $c$ , y como los lleva consigo para hacer todas las derivaciones estándar, ¿siempre termina con resultados que se reducen a la mecánica newtoniana si toma ese límite?

DJBunk

¿Tiene un ejemplo donde esto falla en el marco habitual? Por lo que puedo decir, siempre puede tomar el límite no relativista, siempre que sea apropiado. Es decir, podemos hablar sobre la suma de velocidades a velocidades mucho más bajas que cy es algo razonable de lo que hablar, pero no hay ninguna manera razonable de hablar sobre un fotón de manera no relativista.

Nikolaj-K

@DJBunk: No conozco ningún contraejemplo donde haya una teoría relativista y consideraciones clásicas y suceda algo malo. Pero podría imaginar tales casos. por ejemplo, cuando

c

$c$ se para en

\frac{v}{c}

$\tfrac{v}{c}$ y realmente no quieres matar la velocidad o si hay un término multiplicado por

\frac{1}{c^{2}}

$\tfrac{1}{c^2}$ en las ecuaciones de Maxwell y cuando simplemente tomas el límite, el término desaparece junto con alguna función cuya existencia necesitas si la modelas de manera no relativista. Después de todo, las fuerzas eléctricas se utilizan en consideraciones clásicas. Tal vez estos siempre sean guardados por

c \frac{1}{c} = 1

$c\tfrac{1}{c}=1$ etc.

Ron Maimón

@NickKidman: Espera, ¿qué tiene de malo tu último ejemplo? La desaparición de los términos derivados es lo mismo que hbar a cero. Lo publiqué hace un momento como respuesta, pero parece que lo consideraste y lo rechazaste.

Nikolaj-K

@RonMaimon: Sí, supongo que lo "rechacé" al decir que si tiene esa derivada temporal del término del campo E, entonces no está en electrostática (su ecuación de Laplace), sino en una teoría con ondas que se propagan y esto es no es un modelo de física clásica no relativista. Básicamente lo acepté como un fenómeno que ni siquiera está en la física newtoniana y, por lo tanto, no debe tenerse en cuenta. El

ℏ

$\hbar$ El problema es más serio en el sentido de que, si bien no necesita ondas, necesita impulso en todos los modelos clásicos.

Respuestas (3)

¿En qué subcampos y hasta dónde se puede llevar el límite ingenuo c→∞c→∞c\rightarrow\infty de la relatividad especial?

¿Tiene un ejemplo donde esto falla en el marco habitual? Por lo que puedo decir, siempre puede tomar el límite no relativista, siempre que sea apropiado. Es decir, podemos hablar sobre la suma de velocidades a velocidades mucho más bajas que cy es algo razonable de lo que hablar, pero no hay ninguna manera razonable de hablar sobre un fotón de manera no relativista.
@DJBunk: No conozco ningún contraejemplo donde haya una teoría relativista y consideraciones clásicas y suceda algo malo. Pero podría imaginar tales casos. por ejemplo, cuando $c$ se para en $\tfrac{v}{c}$ y realmente no quieres matar la velocidad o si hay un término multiplicado por $\tfrac{1}{c^2}$ en las ecuaciones de Maxwell y cuando simplemente tomas el límite, el término desaparece junto con alguna función cuya existencia necesitas si la modelas de manera no relativista. Después de todo, las fuerzas eléctricas se utilizan en consideraciones clásicas. Tal vez estos siempre sean guardados por $c\tfrac{1}{c}=1$ etc.
@NickKidman: Espera, ¿qué tiene de malo tu último ejemplo? La desaparición de los términos derivados es lo mismo que hbar a cero. Lo publiqué hace un momento como respuesta, pero parece que lo consideraste y lo rechazaste.
@RonMaimon: Sí, supongo que lo "rechacé" al decir que si tiene esa derivada temporal del término del campo E, entonces no está en electrostática (su ecuación de Laplace), sino en una teoría con ondas que se propagan y esto es no es un modelo de física clásica no relativista. Básicamente lo acepté como un fenómeno que ni siquiera está en la física newtoniana y, por lo tanto, no debe tenerse en cuenta. El $\hbar$ El problema es más serio en el sentido de que, si bien no necesita ondas, necesita impulso en todos los modelos clásicos.

Diego Mazón · Answer 1

El problema surge cuando se toma ingenuamente el límite de una expresión como una constante , como por ejemplo $c$ o $\hbar$ , va a un valor (o infinito). Lo que estos límites significan físicamente es que una relación adimensional entre una magnitud característica y esa constante llega a cierto valor (o infinito).

Relatividad especial

El llamado límite no relativista (el nombre es horrible porque la física galileana es tan relativista como la relatividad especial) de la relatividad especial consiste en tomar el límite como la razón $v/c$ o $p/(mc)$ va a cero, con $c$ fijado. Como $c$ solo aparece a través de estas proporciones muy a menudo, es formalmente equivalente al límite $c$ yendo al infinito (en estos casos donde $c$ sólo aparece a través de estos cocientes). Sin embargo, hay casos, que involucran, por ejemplo, teorías de campo, donde uno tiene que trabajar un poco la expresión para encontrar estas proporciones. (Por cierto, la cinemática de Carroll también se caracteriza por el límite $v/c \rightarrow 0$ , pero en este caso $c$ sí mismo, además, va a cero (como $\sqrt v$ ), algo con poco significado físico hasta donde yo sé).

Mecánica cuántica

El límite clásico es frecuentemente más complicado porque es más difícil identificar magnitudes características con dimensiones de $\hbar$ . En algunos casos, sin embargo, es bastante claro. Por ejemplo, en la formulación de la integral de trayectoria de la mecánica cuántica, el exponente adimensional $S/\hbar$ determinar el límite clásico. Cuando este cociente tiende a infinito (o formalmente cuando $\hbar$ va a cero) todas las contribuciones de ruta se cancelan entre sí excepto la que minimiza $S$ , el camino clásico. Algo similar sucede en la cuantización de Sommerfeld para grandes números cuánticos. Aunque el tema es el mismo que en la relatividad especial, hay menos expresiones que involucran razones adimensionales simples y esto hace que el límite clásico sea más difícil que el límite no relativista. Y de hecho, uno puede leer en decenas de buenos libros y artículos cosas erróneas como la identificación del límite clásico con la contribución del nivel del árbol (orden cero en la teoría de la perturbación), lo que no es cierto en todos los casos (aunque es correcto en mayoria de los casos).

es formalmente equivalente al límite c yendo a infinito Si es formalmente equivalente, ¿de qué sirve preocuparse por cómo lo hacemos?
Hay que tener cuidado cuando $c$ no aparece directamente a través de esas proporciones adimensionales. Por ejemplo, en la fórmula de Larmor o en la ecuación masiva de Klein-Gordon. @BenCrowell
¿Puede dar un ejemplo de cómo se aplica su razonamiento a la fórmula de Larmor? Lo siento, pero sigo sin entender tu punto.
La fórmula de Larmor ya no es relativista. Del mismo modo, si toma el límite ingenuo $c\rightarrow \infty$ en la ecuación masiva de Klein-Gordon, no obtienes el Schr. ecuación. ¿Esto ayuda?
Puntos interesantes: ¿tal vez podría integrarlos en su respuesta? Todavía no estoy siguiendo su lógica sobre todo.
@BenCrowell La lógica es la siguiente: el OP dice correctamente que no obtienes el límite clásico tomando $\hbar$ yendo a cero en $P=-i\hbar\partial _x$ mientras que en la relatividad especial el límite no relativista se obtiene (frecuentemente) tomando $c$ yendo al infinito. Mi punto es que esto se debe al hecho de que las proporciones adimensionales antes mencionadas son más comunes en la relatividad que en la mecánica cuántica. La integral de trayectoria en la mecánica cuántica (relación adimensional) y las ecuaciones masivas de Klein-Gordon (ausencia de relación adimensional) son "excepciones" (hay muchas). Eso es todo.

Ron Maimón · Answer 2

Supongamos que tengo un campo escalar. La ecuación para la evolución del campo es

\frac{1}{C^{2}} \partial_{t}^{2} ϕ - \nabla^{2} ϕ = 0

${1\over c^2} \partial_t^2 \phi -\nabla^2\phi =0$

Así que el problema de tomar el límite $c\rightarrow\infty$ es exactamente lo mismo que tomar $\hbar$ a cero en mecánica cuántica, desaparece un término derivado.

La razón por la que piensas $\hbar\rightarrow 0$ es de alguna manera más difícil es debido a la abstracción del formalismo cuántico. si reescribes $p=\hbar {\partial\over\partial x}$ como $p={h\over \lambda}$ (que es lo mismo para las ondas planas), la pequeña $\hbar$ El límite se vuelve más obvio: la longitud de onda llega a cero manteniendo p fijo, de modo que los efectos de difracción desaparecen.

Creo que esto es en realidad un ejemplo donde $c\rightarrow\infty$ da la respuesta correcta. La ecuación de onda dada es para un campo escalar sin masa (no cualquier campo escalar). En el límite no relativista, no esperamos poder ver perturbaciones de onda de campos sin masa, por lo que solo deberían existir campos estáticos. Esto se desarrolló explícitamente, para el electromagnetismo, en el artículo de le Bellac al que se hace referencia en mi respuesta.
@BenCrowell: Estoy de acuerdo, lo estaba usando para argumentar que hbar to zero tampoco es problemático.
OK eso está bien. No puedo eliminar mi voto negativo a menos que edite su respuesta. Si desea hacer una edición para aclarar cuál es su interpretación, eso funcionaría.

usuario4552 · Answer 3

¡Buena pregunta!

Hay un límite funky llamado cinemática de Carroll, introducido en Levy-Leblond 1965. Baccetti 2011 es un artículo disponible gratuitamente que lo describe.

Hay dos límites galileanos diferentes de electromagnetismo (Le Bellac 1973). Ver de Montigny 2005 para una descripción.

Entonces, dado que el límite de Galileo a menudo no es único, debería quedar bastante claro que no podemos obtenerlo en todos los casos simplemente tomando $c\rightarrow\infty$ .

Otra forma de ver que este enfoque se topa con problemas es que en el $c\rightarrow\infty$ límite, la métrica se vuelve degenerada. Toda la maquinaria estándar de la relatividad, por ejemplo, la capacidad de subir y bajar índices, se basa en el supuesto de que la métrica no es degenerada.

Baccetti, Tate y Visser, 2011, "Marcos inerciales sin el principio de relatividad", http://arxiv.org/abs/1112.1466

Le Bellac M y Levy-Leblond JM 1973, "Electromagnetismo galileano", Nuov. Cim. B 14 217-233

Levy-Leblond, "Une nouvelle limite non-relativiste du group de Poincaré", Ann. Inst. Henri poincaré 3 (1965)

Marc De Montigny, Germain Rousseaux, 2005, "Sobre la electrodinámica de cuerpos en movimiento a bajas velocidades", http://arxiv.org/abs/physics/0512200

¿En qué subcampos y hasta dónde se puede llevar el límite ingenuo c→∞c→∞c\rightarrow\infty de la relatividad especial?

Nikolaj-K

DJBunk

Nikolaj-K

Ron Maimón

Nikolaj-K

Respuestas (3)

Diego Mazón

usuario4552

Diego Mazón

usuario4552

Diego Mazón

usuario4552

Diego Mazón

Ron Maimón

usuario4552

Ron Maimón

usuario4552

usuario4552

Postulados de la Relatividad Especial

¿Cómo sabemos que las constantes fundamentales no cambian lentamente en el tiempo? [duplicar]

Velocidad constante de la luz - en este escenario específico

¿Por qué es más aceptable suponer que los fotones se mueven al límite de velocidad universal en lugar de cerca de él?

Fotones que se mueven en relación con los fotones [duplicado]

Experimento de Michelson-Morley como evidencia de la Relatividad Especial

¿Cuál es el significado del postulado de Einstein sobre la velocidad de la luz?

¿Por qué y cómo la velocidad de la luz en el vacío es constante, es decir, independiente del marco de referencia?

Postulado de la constancia de la velocidad de la luz en el vacío

Observando a 'una persona sosteniendo un espejo casi a la velocidad de la luz' desde otro marco de referencia