¿Cómo se tratan los números complejos en física?

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¿Cómo se tratan los números complejos en física?

oscureciendo

En varios lugares de la física, EM por ejemplo, los números complejos se utilizan para describir cosas que son físicamente reales. Señalaré un caso simple: resolver una ODE para resistencia/carga/voltaje. Obtenemos un cierto valor, que está en la forma $a+bi$ y tomar su parte real. Mi pregunta es, ¿qué representa físicamente la parte imaginaria de la respuesta? ¿Cómo sabemos que no estamos "perdiendo información" al considerar solo la parte real cuando usamos números complejos en los cálculos? Todo el tratamiento de los números complejos en la física me desconcierta. ¿Qué tiene que ver el plano complejo con la realidad? A veces, ciertos movimientos también se describen con números complejos.

una mente curiosa

Duplicados relacionados/posibles: physics.stackexchange.com/q/209069/50583 , physics.stackexchange.com/q/512109/50583 , physics.stackexchange.com/q/11396/50583

proyecto de ley n

"Imaginario" es una elección desafortunada (histórica) de nombrar la parte de un número de par ordenado. También es desafortunado que nadie con influencia matemática esté dispuesto a cambiar ese nombre. Yo, personalmente, creo que "transversal" sería mejor. (Real) +i(Transversal) sería una reminiscencia del plano de Argand.

Juan malo

Para preservar los símbolos

C

$\Bbb{C}$ y

R

$\Bbb{R}$ , sugiero los nombres "Números completos" y "Números restringidos".

Respuestas (4)

¿Cómo se tratan los números complejos en física?

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"Imaginario" es una elección desafortunada (histórica) de nombrar la parte de un número de par ordenado. También es desafortunado que nadie con influencia matemática esté dispuesto a cambiar ese nombre. Yo, personalmente, creo que "transversal" sería mejor. (Real) +i(Transversal) sería una reminiscencia del plano de Argand.
Para preservar los símbolos $\Bbb{C}$ y $\Bbb{R}$ , sugiero los nombres "Números completos" y "Números restringidos".

djohnm · Answer 1

La pregunta se basa en una premisa falsa: que solo la parte real de la corriente o voltaje complejo es significativa.

De hecho, es la magnitud de la cantidad compleja lo que es significativo. La relación entre las partes real e imaginaria le indica el momento o la fase de la cantidad en relación con una resistencia pura.

Si tuviera un circuito con una resistencia, un capacitor y una inductancia dispuestos en serie y alimentados con $120$ V corriente alterna, podría calcular que el voltaje a través de la inductancia y el capacitor eran puramente imaginarios. Sin embargo, un voltímetro de CA podría medir un voltaje muy real en cada uno de estos. Más importante aún, este voltaje imaginario podría darte un golpe en la espalda si tocaras el capacitor o la inductancia en el momento equivocado en el voltaje alterno.

Como un ejemplo diferente: si tuviera que calcular el voltaje individualmente a través de cuatro elementos de circuito en serie y encontrar

V_{1} = (5 + 0 i) voltios

$V_1=(5+0i) \text{ Volts}$

V_{2} = (0 + 5 i) voltios

$V_2=(0+5i) \text{ Volts}$

V_{3} = (0 - 5 i) voltios

$V_3=(0-5i) \text{ Volts}$

V_{4} = (3 + 4 i) voltios

$V_4=(3+4i) \text{ Volts}$ entonces sabría que el voltaje medido en cada uno de los elementos sería exactamente el mismo ,

5

$5$ voltios.

Si mostrara los voltajes en un osciloscopio de trazas múltiples, vería cuatro ondas sinusoidales idénticas con una amplitud de $5$ Voltios: $V_2$ sería $90$ grados fuera de fase con $V_1$ , $V_3$ sería $180$ grados fuera de fase con $V_2$ , y $V_4$ sería $53.13$ grados fuera de fase con $V_1$ $( \text{ because }\tan(53.13)=\frac{4}{3})$

Estoy de acuerdo en que en algunas teorías la parte imaginaria tiene un significado de "mundo real" bien definido. Pero creo que en Mecánica Cuántica la situación es bastante diferente. Aunque las matemáticas de QM funcionan perfectamente, la parte imaginaria no tiene una huella física significativa (a falta de una palabra mejor) en el mundo medible. Siempre encontré que este es el aspecto más misterioso de QM.
@HartmutBraun en realidad hay una especie de huella "física" de esta parte imaginaria. ya que la función de onda $\psi(x,t)$ es un valor complejo. puedes aplicarle una transformación de fase $\psi' \to e^{i\theta}\psi$ . la ecuación que satisface esta función "ecuación de Klein-Gordon" permanece invariante bajo este cambio. pero si "localizó" el cambio, es decir, realizó $\theta$ una función de $(x,t)$ también no es solo una consonante, la ecuación no permanece sin cambios bajo eso. una forma de resolverlo es modificar la ecuación original agregando un término $A_\mu (x,t)$ tal que esta nueva ecuación permanecería invariante bajo...
... el cambio de local y ver si funciona. resulta que esto $A_\mu$ que se agregó solo como una especie de corrección al principio es igual al potencial electromagnético. así que, en cierto modo, esto es una especie de redescubrimiento del campo electromagnético.

Vladímir Kalitvianski · Answer 2

En el caso más simple podemos usar un exponencial como un $A\cdot \text{e}^{\text{i}\omega t}$ en lugar de un $A\cdot\sin(\omega t)$ , por lo que es la forma más fácil de escribir las soluciones (oscilaciones armónicas más simples).

Pero en realidad la amplitud y la fase pueden variar con el tiempo en los procesos transitorios, por lo que debes escribir dos ecuaciones en lugar de una. A menudo, estas dos ecuaciones son equivalentes a una ecuación con coeficientes complejos y soluciones simplemente conectadas a las variables en cuestión.

¿No deberíamos decir que la parte real y la parte "imaginaria" se usan en la forma $\mathrm{A} \cdot e^{\iota \omega t}$ ? Ya que, cualquier número complejo (gracias a Euler) $z=x+\iota y$ se puede escribir en la forma polar $\sqrt{x^2+y^2} \cdot e^{\iota \theta}$ ; dónde, $\theta= \tan^{-1}(\frac{y}{x})$ (fase). Entonces, en realidad tenemos toda la información para la solución de una ecuación diferencial SHO.
@Ishika_96_sparkle: Sí, para un SHO hay dos condiciones iniciales y dos constantes para determinar. La linealidad y homogeneidad de SHO hace atractiva la forma exponencial de solución. Pero en (muy) general, no siempre es fructífero unir dos variables independientes en una variable compleja $z$ .

Pedro · Answer 3

Ciertamente pierdes información al tomar solo la parte real de un número complejo, pero a veces esa es la única parte que te interesa. En el caso de la resistencia, la cantidad compleja se llama impedancia, y la parte imaginaria (llamada reactancia) cubre la efecto de condensadores e inductancias.

En general se utilizan números complejos porque facilitan las matemáticas. Una respuesta compleja inesperada, como obtener $sin\theta>1$ en la Ley de Snell, te dice que está sucediendo algo diferente.

eli · Answer 4

otro ejemplo:

a la solución de esta ecuación diferencial:

\frac{d^{2}}{d t^{2}} X (t) + ω^{2} X (t) + 2 γ \frac{d}{d t} X (t) = 0

${\frac {d^{2}}{d{t}^{2}}}x \left( t \right) +{\omega}^{2}x \left( t \right) +2\,\gamma\,{\frac {d}{dt}}x \left( t \right)=0$

es: (Ansatz)

X (t) = (a + i b) {mi}^{(- γ + i \sqrt{- γ^{2} + ω^{2}}) t} + (a - i b) {mi}^{(- γ - i \sqrt{- γ^{2} + ω^{2}}) t}

$x(t)= \left( a+ib \right) {{\rm e}^{ \left( -\gamma+i\sqrt {-{\gamma}^{2}+{ \omega}^{2}} \right) t}}+ \left( a-ib \right) {{\rm e}^{ \left( - \gamma-i\sqrt {-{\gamma}^{2}+{\omega}^{2}} \right) t}}$

donde la parte imaginaria de x(t) es cero.

Así: porque $\Im(x(t))=0$ , la solucion es $\Re(x(t))$

con la condición inicial

X (0) = X_{0}, \dot{X} (0) = v_{0}

$x(0)=x_0\quad ,\dot{x}(0)=v_0$

tienes dos ecuaciones para $a$ y $b$

a = \frac{X_{0}}{2}

$a=\frac{x_0}{2}$

b = \frac{1}{2} \frac{X_{0} γ + v_{0}}{\sqrt{- γ^{2} + ω^{2}}}

$b=\frac{1}{2}\,{\frac {x_{{0}}\gamma+v_{{0}}}{\sqrt {-{\gamma}^{2}+{\omega}^{2}}}}$

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