¿Cómo se relaciona la ley de radiación de Planck con E=hνE=hνE=h\nu

La radiación espectral de un cuerpo, Bν, describe la cantidad de energía que emite como radiación de diferentes frecuencias. Se mide en términos de la potencia emitida por unidad de área del cuerpo, por unidad de ángulo sólido sobre el que se mide la radiación, por unidad de frecuencia. Planck demostró que la radiación espectral de un cuerpo a temperatura absoluta T está dada por

$$B_\nu(\nu, T)= \frac{2h\nu^3}{c^2}\frac{1}{e^{\frac{h\nu}{k_\mathrm B T}}-1}$$

La relación surge de resolver un modelo de osciladores electromagnéticos en una cavidad, y h

Reconocido por primera vez en 1900 por Max Planck, originalmente era la constante de proporcionalidad entre el incremento mínimo de energía, E, de un hipotético oscilador cargado eléctricamente en una cavidad que contenía radiación de cuerpo negro, y la frecuencia, f, de su onda electromagnética asociada. En 1905, el valor E, el incremento mínimo de energía de un oscilador hipotético, fue asociado teóricamente por Einstein con un "cuántico" o elemento mínimo de la energía de la propia onda electromagnética. El cuanto de luz se comportó en algunos aspectos como una partícula eléctricamente neutra, en oposición a una onda electromagnética. Eventualmente se llamó el fotón.

Entonces, el modelo de cuerpo negro desarrollado para explicar la ausencia de la catástrofe ultravioleta en los datos necesita que los incrementos de energía dejen a los osciladores como radiación electromagnética para ser proporcionales a la frecuencia, por construcción. Esta fue una hipótesis brillante que luego fue confirmada por innumerables experimentos.

No sé si Planck lo hizo de esta manera, pero uno puede separar la suposición de que la energía transportada por la luz está cuantificada en fotones de la suposición de que la energía de cada fotón es$E = h \nu$. Cualquiera que sea la forma de la relación de energía, solo puede depender de la frecuencia porque (en un universo con invariancia traslacional y rotacional en el espacio y el tiempo) esa es la única propiedad local que caracteriza a la luz. Si denota la dependencia de la energía del fotón en su frecuencia por la función$\epsilon(\nu)$, entonces puedes demostrar que la radiancia espectral viene dada por

$B(\nu, T) = \frac{2 \nu^2}{c^2} \frac{\epsilon(\nu)}{e^{\frac{\epsilon(\nu)}{k_B T}} - 1}$.

(El$\frac{2 \nu^2}{c^2}$contribución es puramente clásica y proviene de la densidad de modos normales de una onda plana en una cavidad perfectamente conductora).

Hallazgo$\epsilon(\nu)$ahora es simplemente una cuestión de encontrar una función que haga coincidir esta fórmula con los resultados experimentales. Afortunadamente, la respuesta correcta es bastante simple:$\epsilon(\nu) = h \nu$.

En el límite de alta temperatura$k_B T \gg \epsilon(\nu)$, podemos Taylor expandir la exponencial y la dependencia de$\epsilon(\nu)$desaparece (porque hay tantos fotones que el hecho de que su número esté cuantificado es irrelevante), lo que lleva a la clásica ley de Rayleigh-Jeans que se cumple en frecuencias tales que$h \nu \ll k_B T$.