¿Interacción atractiva de Coulomb como intercambio de partículas virtuales?

La respuesta corta es que el principio de incertidumbre de Heisenberg permite la atracción. Suponga que tiene dos cargas opuestas, y la de la izquierda emite un fotón virtual con impulso dirigido hacia la izquierda. La carga de la izquierda comienza a moverse hacia la carga de la derecha. Ahora, ¿dónde está el fotón virtual? Su impulso es un valor exacto dirigido hacia la izquierda, por lo que clásicamente esperamos que en un momento posterior encontremos el fotón virtual en una nueva posición más a la izquierda de la posición original de la carga que lo emitió.

Pero debido al HUP, si se encuentra en un estado de impulso preciso, entonces su posición se vuelve infinitamente incierta. Por lo tanto, existe la misma posibilidad de encontrar la nueva posición del fotón de impulso izquierdo a la derecha de donde se emitió (es decir, donde se encuentra la otra carga) que de encontrarla a la izquierda. Y eso sucede, la carga derecha puede absorber ese fotón virtual y su impulso hacia la izquierda, y las dos cargas se mueven una hacia la otra.

Ahora hay un problema nuevo y más extraño. ¿Qué es entonces lo que distingue entre atracción y repulsión? Parece que dos partículas tienen las mismas posibilidades de hacer cualquiera de las dos, independientemente de la carga. La resolución de esto en QFT desafía la analogía con cualquier cosa con la que estemos familiarizados y depende del hecho de que los estados de las partículas cuánticas se describen mediante una onda .-función en lugar de un conjunto de coordenadas como hacemos con las partículas clásicas. La paridad de la función de onda para nuestras dos cargas será par o impar, dependiendo de si las cargas tienen signo igual u opuesto, respectivamente. Cuando la función de onda del fotón virtual interfiere con la de las cargas, el patrón de interferencias constructivas y destructivas que resulta depende crucialmente de si la función de onda de las cargas es par o impar. En el caso par, hay más interferencia destructiva entre las dos cargas (similares) e interferencia constructiva fuera de esta región, lo que significa que ahora es más probable que las cargas se encuentren en posiciones con una separación más amplia. Lo contrario sucede si las partículas tienen carga opuesta.

El fenómeno de la mecánica cuántica que subyace al efecto macroscópico que observamos y describimos como atracción repulsión está mucho más alejado de las concepciones clásicas del proceso de lo que cualquier físico en su sano juicio habría creído jamás. Para mí, mi primer encuentro con las ideas descritas anteriormente fue cuando realmente comencé a creerle a Bohr, quien dijo: "Aquellos que no se sorprenden cuando se encuentran por primera vez con la teoría cuántica no pueden haberla entendido". En QM no entiendes las cosas. Sólo te acostumbras a ellos.

Reformulemos la pregunta OP de la siguiente manera:

Si la fuerza entre 2 cargas$q_1$y$q_2$en QFT está mediado por una partícula portadora de fuerza virtual que va y viene entre las cargas, cf. Fig. 1, ¿la conservación del momento en cada colisión/vértice no conduciría siempre a cargas que se repelen? ¿Cómo puede tal teoría explicar la atracción?

 --------------------------- q_1
     |      /    |   \
     |     /     |    \
     |    /      |     \
     |   /       |      \
 --------------------------- q_2

$\uparrow$Fig. 1. Un diagrama de escalera típico. Los 2 lados constituyen 2 cargas$q_1$y$q_2$y los peldaños son partículas portadoras de fuerza virtual.

¡Buena pregunta!

TL;DR: La respuesta un tanto simplificada es que también hay (anti)partículas portadoras de fuerza virtual que retroceden en el tiempo y tiran en lugar de empujar [1]. Además, QFT trata las interacciones atractivas y repulsivas de manera unificada en el sentido de que la regla de Feynman para un vértice de interacción es proporcional a la carga, y esto funciona de manera similar para cada signo de la carga.

Intentemos ilustrar esto para un modelo QFT simple:

1. Para simplificar, supondremos que el campo portador de fuerza es un escalar de spin-0/a. [Resulta que esto invertirá lo que es repulsivo y lo que es atractivo en relación con la interacción ordinaria E&M spin-1, es decir, las cargas opuestas se repelen y los cambios similares se atraen [2], pero el punto importante aquí es que todavía habrá un atractivo caso para explicar!]

2. Para simplificar, modelaremos las cargas como partículas puntuales en lugar de campos.

3. Rotaremos Wick al espacio-tiempo euclidiano para evitar propagadores singulares.

La función de partición se convierte en$^1$

$$\begin{align} &e^{-\frac{1}{\hbar}W_c[J]}\cr ~=~~& Z[J]\cr ~=~~&\int \! {\cal D}\phi~\exp\left\{\frac{1}{\hbar} \int\! d^4x \left(-\frac{1}{2}\phi(-\partial_t^2 -\vec{\nabla}^2+m^2)\phi +J\phi\right)\right\} \cr ~\stackrel{\begin{array}{c}\text{Gauss.}\cr\text{int.}\end{array}}{\sim}& \exp\left\{\frac{1}{2\hbar}\int\! d^4x\int\! d^4x^{\prime}~J(x)G(x\!-\!x^{\prime})J(x^{\prime}) \right\}\tag{1}\cr ~\stackrel{\begin{array}{c}\text{Four.}\cr\text{transf.}\end{array}}{\sim}& \exp\left\{\frac{1}{2\hbar}\int\! dt \frac{d^3k}{(2\pi)^3} \int\!dt^{\prime}\frac{d^3k^{\prime}}{(2\pi)^3}~\tilde{J}(\vec{k},t)\tilde{G}(\vec{k}\!-\!\vec{k}^{\prime},t\!-\!t^{\prime})\tilde{J}(\vec{k}^{\prime},t^{\prime}) \right\} \tag{2}\cr ~\stackrel{\begin{array}{c}\text{Four.}\cr\text{transf.}\end{array}}{\sim}& \exp\left\{\frac{1}{2\hbar}\int\! \frac{d\omega}{2\pi}d^3r \int\!\frac{d\omega^{\prime}}{2\pi}d^3r^{\prime}~\hat{J}(\vec{r},\omega)\hat{G}(\vec{r}\!-\!\vec{r}^{\prime},\omega\!-\!\omega^{\prime})\hat{J}(\vec{r}^{\prime},\omega^{\prime}) \right\},\tag{3} \end{align}$$

donde la función de correlación de 2 puntos/ función de Green es

$$\begin{align} G(x)~=~&\frac{m}{4\pi^2|x|} K_1(m|x|), \cr (-\partial_t^2 -\vec{\nabla}^2+m^2)G(x)~=~&\delta^4(x),\end{align}\tag{1}$$

$$\begin{align}\tilde{G}(\vec{k},t)~=~& -\frac{\sinh(|t|\sqrt{k^2+m^2})}{2\sqrt{k^2+m^2}}, \cr (-\partial_t^2 +k^2+m^2)\tilde{G}(\vec{k},t)~=~&\delta(t), \end{align}\tag{2}$$

$$\begin{align}\hat{G}(\vec{r},\omega) ~=~&\frac{e^{-r\sqrt{\omega^2+m^2}}}{4\pi r}, \cr (-\vec{\nabla}^2+\omega^2+m^2)\hat{G}(\vec{r},\omega)~=~&\delta^3(\vec{r}), \end{align}\tag{3}$$

Ya podemos hacer 2 observaciones:

1. De la ec. (2) vemos que el 3-momentum se conserva en cada vértice.

2. De la ec. (3) comenzamos a reconocer la forma de un potencial de Yukawa , cf. por ejemplo, mi respuesta Phys.SE aquí .

Ambas observaciones se aclaran a continuación.

    q_1
     |  
     |   
     |   
     |  
    q_2

$\uparrow$Fig. 2. Solo 1 diagrama de Feynman contribuye a nuestro modelo QFT simple. Consta de 2 fuentes y 1 propagador. los 2 cargos$q_1$y$q_2$compartir TODOS sus 3 momentos con una partícula portadora de fuerza virtual.

• Dadas 2 fuentes puntuales de la función delta de Dirac en el espacio de posiciones $$\begin{align} J(\vec{r},t)~=~&q_1\delta^3(\vec{r}\!-\!\vec{r}_1(t)) +q_2\delta^3(\vec{r}\!-\!\vec{r}_2(t)),\tag{1}\cr \tilde{J}(\vec{k},t)~=~&q_1 e^{i\vec{k}\cdot\vec{r}_1(t)} +q_2e^{i\vec{k}\cdot\vec{r}_2(t)},\tag{2} \end{align}$$ la energía libre integrada en el tiempo (excluyendo las autointeracciones) es $$\begin{align} -W_c[J]~\sim~&\frac{1}{2}\int\! d^4x\int\! d^4x^{\prime}J(x)G(x\!-\!x^{\prime})J(x^{\prime}) \cr ~=~&q_1q_2 \int\! dt_1\int\! dt_2~G(\vec{r}_1(t_1)\!-\!\vec{r}_2(t_2),t_1\!-\!t_2) \tag{1}\cr ~\approx~& q_1q_2 \int\! d\bar{t}~\underbrace{\hat{G}(\vec{r}_1(\bar{t})\!-\!\vec{r}_2(\bar{t}),\omega\!=\!0)}_{\text{Yukawa potential}},\tag{3} \end{align}$$ donde en la última igualdad (i) asumimos que las cargas de 2 puntos son pesadas/inmóviles, y (ii) cambiamos las coordenadas de tiempo $$\bar{t}~:=~\frac{t_1+t_2}{2}, \qquad \Delta t~:=~t_1-t_2.$$

Tenga en cuenta que una carga puntual localizada en el espacio de posición está completamente deslocalizada en el espacio de momento, y viceversa, de acuerdo con el HUP .

• Dadas 2 fuentes puntuales de la función delta de Dirac en el espacio de momento $$\begin{align} \tilde{J}(\vec{k},t)~=~&q_1(2\pi)^3\delta^3(\vec{k}\!-\!\vec{k}_1(t)) +q_2(2\pi)^3\delta^3(\vec{k}\!-\!\vec{k}_2(t)),\tag{2}\cr J(\vec{r},t)~=~&q_1 e^{-i\vec{r}\cdot\vec{k}_1(t)} +q_2e^{-i\vec{r}\cdot\vec{k}_2(t)},\tag{1} \end{align}$$ la energía libre integrada en el tiempo (excluyendo las autointeracciones) es $$\begin{align} -W_c[J]~\sim~&\frac{1}{2}\int\! d^4x\int\! d^4x^{\prime}J(x)G(x\!-\!x^{\prime})J(x^{\prime}) \cr ~=~&q_1q_2 \int\! dt_1\int\! dt_2~\tilde{G}(\vec{k}_1(t_1)\!-\!\vec{k}_2(t_2),t_1\!-\!t_2) \tag{2}\cr ~\approx~& q_1q_2 \int\! d\bar{t}~\frac{1}{(\vec{k}_1(\bar{t})-\vec{k}_2(\bar{t}))^2+m^2}. \end{align}$$

Entonces, ¿cuáles son las conclusiones? Bueno, como se predijo, el signo de las cargas (y, por lo tanto, las interacciones atractivas y repulsivas) ingresa de manera unificada. También se respeta la conservación del impulso.

Referencias:

1. T. Lancaster y SJ Blundell, QFT para el aficionado superdotado, 2014; secciones 17.2-17.4.

2. A. Zee, QFT en pocas palabras, 2010; apartado I.5.

--

$^1$Aquí trabajamos en unidades donde$c=1$.