¿Cómo se explica el impulso de un fotón absorbido?

Introducción

La transferencia de impulso se incluye correctamente cuando se incorpora el centro de masa de movimiento$\mathbf R$del átomo como variable dinámica. Realizar la aproximación del dipolo permite tratar todos los electrones como si estuvieran interactuando con algún campo en el centro del átomo,$\mathbf F(\mathbf R,t)$, pero ahora$\mathbf R$es un operador en los grados de libertad del centro de masa, lo que significa que las probabilidades de transición deben tener esto en cuenta.

En términos manuales, la interacción hamiltoniana se puede reformular como

$$\hat H_\mathrm{int}=\mathbf d\cdot\mathbf F(\mathbf R,t),$$ dónde $\mathbf d$es algún operador dipolar que actúa sobre los grados de libertad electrónicos internos, y $\mathbf F(\mathbf R,t)$es un operador de campo que depende de $\mathbf R$. Se deben tomar probabilidades de transición entre un estado inicial $|\Psi_i⟩=|\chi_i⟩|\psi_i⟩$que es un estado conjunto de los grados de libertad internos en el estado $|\psi_i⟩$y el centro de movimiento de masas en el estado $|\chi_i⟩$, y un estado final análogo. La probabilidad de transición total incluye un factor de coincidencia espacial $$\left\langle\chi_f|\mathbf F(\mathbf R,t)|\chi_i\right\rangle$$ que controla la transferencia de cantidad de movimiento. Así, si ambos $|\chi_i⟩$y $|\chi_f⟩$tienen un momento lineal definido y el campo es monocromático, entonces el momento del campo $\hbar\mathbf k$necesita coincidir, exactamente, con la diferencia de impulso entre los dos, o la amplitud de transición desaparecerá.

Proporciono, a continuación, una descripción más detallada de este cálculo. Las referencias son relativamente difíciles de encontrar porque están sumergidas en un mar de documentos y libros de texto sobre enfriamiento Doppler, pero SJ van Enk's Selection rules and center-of-mass motion of ultracold atoms ( Quantum Opt. 6 , 445 (1994) , eprint ) da una buena introducción, que sigo a continuación.

Relevancia

Antes de pasar a algunas matemáticas esenciales, quiero abordar por qué generalmente está bien no hacer nada de lo que sigue. Muy pocos libros de texto introductorios incluyen algo de esto, y rara vez es una consideración en la física del día a día, pero definitivamente lo requiere la conservación de la energía y el momento. Entonces, ¿qué da?

Hay dos razones para esto.

• La primera es que los cambios de energía involucrados en realidad no son tan grandes para empezar. Consideremos, por ejemplo, el Lyman-$\alpha$línea de hidrógeno, que tiene una frecuencia relativamente alta (y, por lo tanto, un impulso de fotones) y ocurre en un átomo ligero, por lo que el efecto debería ser relativamente fuerte. El impulso del fotón se siente como si fuera significativo, en$p=m_\mathrm{H}\times 3.3\:\mathrm{m/s}$, pero el cambio de velocidad que imparte es minúsculo con respecto a la unidad atómica de velocidad,$\alpha c=2.18\times 10^{6}\:\mathrm{m/s}$.

  Más importante aún, la energía cinética para el cambio es pequeña, en$\tfrac1{2m_\mathrm{H}}p^2=55\:\mathrm{neV}$, por lo que representa una desafinación fraccionaria del orden de$5\times 10^{-9}$con respecto a la frecuencia que tendría la transición si el átomo estuviera fijo. Esto es factible con espectroscopía de precisión, pero necesita todas esas nueve cifras significativas en su aparato de detección para poder detectarlo.

• Para colmo de males, los diminutos impulsos de fotones generalmente son ahogados por las fluctuaciones comparativamente grandes en la posición del átomo debido a su movimiento térmico. A temperatura ambiente,$k_B T\approx 26\:\mathrm{meV}$, lo que significa que el movimiento del átomo y el desplazamiento Doppler (incontrolado) que lo acompaña provocarán un gran ensanchamiento Doppler que enmascarará por completo el retroceso del fotón. (Para el hidrógeno a temperatura ambiente, el efecto es una ampliación fraccionaria del orden de$10^{-5}$, por lo que la línea aún parece estrecha, pero es del orden de$30\:\mathrm{GHz}$, en comparación con el$530\:\mathrm{MHz}$cambio del retroceso del fotón.)

  Sin embargo, esto no es un problema si puede enfriar sus átomos a una temperatura adecuada. Si puedes bajar a temperaturas del orden de$p^2/2mk_B\approx0.64\:\mathrm{mK}$, entonces los efectos serán claramente medibles. De hecho, generalmente usa el retroceso de fotones para ayudarlo a enfriarse usando el enfriamiento Doppler para llegar allí (aunque eso generalmente no es suficiente, y necesita pasos adicionales de enfriamiento sub-Doppler como Sísifo o enfriamiento de banda lateral para terminar el trabajo).

Por otro lado, todos estos desafíos se han superado y la observación del retroceso de los fotones ha sido posible de forma más o menos rutinaria durante unos cuarenta años. Las modernas técnicas de espectroscopia de alta precisión pueden llegar a más de 15 o 16 cifras significativas, y el retroceso de fotones es una parte integral de la teoría y el conjunto de herramientas experimentales.

Tuercas y tornillos

Considere un montón de partículas de carga$q_i$y masa$m_i$en posiciones$\mathbf r_i$, que están expuestos a un campo de radiación descrito por el vector potencial$\mathbf A(\mathbf r,t)$en el indicador de radiación (por lo que$\nabla\cdot\mathbf A(\mathbf r,t)=0$), y sujeto a un potencial (invariante de traducción)$\hat V=V(\mathbf r_0,\ldots,\mathbf r_N)$. El hamiltoniano completo para el sistema está dado por

$$\begin{align} \hat H &= \sum_i \frac1{2m_i}\left(\mathbf p_i-q_i\mathbf A(\mathbf r_i,t)\right)^2+\hat V \\&= \sum_i\left[\frac{\mathbf p_i^2}{2m_i}-\frac{q_i}{m_i}\mathbf p_i\cdot\mathbf A(\mathbf r_i,t)+\frac{\mathbf A(\mathbf r_i,t)^2}{2m_i}\right]+\hat V \\&= \sum_i\frac{\mathbf p_i^2}{2m_i}+\hat V-\sum_i\frac{q_i}{m_i}\mathbf p_i\cdot\mathbf A(\mathbf r_i,t) +\sum_i\frac{\mathbf A(\mathbf r_i,t)^2}{2m_i}. \end{align}$$ El término cuadrático $\sum_i\frac{\mathbf A(\mathbf r_i,t)^2}{2m_i}$se conoce como el término diamagnético y generalmente es seguro ignorarlo porque puede eliminarse con una transformación de calibre trivial dentro de la aproximación dipolar . (Fuera de eso, debes preocuparte por eso).

La principal interacción hamiltoniana es entonces

$$\hat H_\mathrm{int}=-\sum_i\frac{q_i}{m_i}\mathbf p_i\cdot\mathbf A(\mathbf r_i,t).$$ (En la mayoría de los casos, esta interacción hamiltoniana de 'medidor de velocidad' de la forma $\mathbf p\cdot\mathbf A$se puede reformular, a través de una transformación de calibre, a un más familiar $\mathbf r\cdot\mathbf E$-interacción del estilo en el calibre de longitud. Sin embargo, esto no es realmente necesario aquí, así que me quedaré con el indicador de velocidad).

Transformaciones de coordenadas

Para exponer el papel del centro de masa, transformamos a las variables

$$\mathbf R=\sum_{i=0}^N\frac{m_i}{M}\mathbf r_i \quad\text{and}\quad \newcommand{\rro}{\boldsymbol{\rho}} \rro_i=\mathbf r_i-\mathbf r_0 \quad\text{for }i=1,\ldots, N$$ con $M=\sum_im_i$, y donde la posición de la partícula cero (es decir, el núcleo) desaparece como una variable dinámica. Los momentos se transforman como $$\mathbf P=\sum_{i=0}^Np_i \quad\text{and}\quad \newcommand{\ppi}{\boldsymbol{\pi}} \ppi_i=\mathbf p_i-\frac{m_i}{M}\sum_{j=0}^N\mathbf p_j$$ y las relaciones inversas se leen $$\begin{align} \mathbf r_0&=\mathbf R-\sum_{j=1}^N\frac{m_j\rro_j}{M} & & \mathbf r_i=\mathbf R+\rro_i-\sum_{j=1}^N\frac{m_j\rro_j}{M} \\ \mathbf p_0&=\frac{m_0}{M}\mathbf P-\sum_{j=1}^N\ppi_j & & \mathbf p_i=\frac{m_i}{M}\mathbf P+\ppi_i .\end{align}$$

El vector potencial, finalmente, puede aproximarse simplemente en el centro de masa, por lo que

$$\mathbf A(\mathbf r_0,t)\approx\mathbf A(\mathbf r_i,t)\approx\mathbf A(\mathbf R,t).$$ La interacción hamiltoniana, entonces, se lee $$\begin{align} \hat H_\mathrm{int} &= -\frac{q_0}{m_0}\mathbf p_0\cdot\mathbf A(\mathbf r_0,t) -\sum_{i>0}\frac{q_i}{m_i}\mathbf p_i\cdot\mathbf A(\mathbf r_i,t) \\&= -\frac{q_0}{m_0}\left( \frac{m_0}{M}\mathbf P-\sum_{i>0}\ppi_i \right)\cdot\mathbf A(\mathbf R,t) -\sum_{i>0}\frac{q_i}{m_i}\left( \frac{m_i}{M}\mathbf P+\ppi_i \right)\cdot\mathbf A(\mathbf R,t) \\&= \sum_{i>0} \left(\frac{q_0}{m_0}-\frac{q_i}{m_i}\right)\ppi_i\cdot\mathbf A(\mathbf R,t) \end{align}$$ para un sistema neutro.

Amplitudes de transición

Esto es realmente todo lo que uno necesita. La probabilidad de transición desde un estado inicial$|\Psi_i⟩$a un posible estado final$|\Psi_f⟩$puede leerse simplemente como

$$⟨\Psi_f|\hat H_\mathrm{int}|\Psi_i⟩,$$ con algunas sutilezas más si se quiere ser riguroso con la evolución temporal y derivar, por ejemplo, la regla de oro de Fermi.

Si el centro de masa se mantiene fijo en el espacio, entonces todo lo que importa es el momento dipolar atómico, que para esta interacción hamiltoniana se lee

$$\sum_{i>0}\left(\frac{q_0}{m_0}-\frac{q_i}{m_i}\right)⟨\psi_f|\ppi_i|\psi_i⟩,$$ tomado entre estados internos $|\psi_i⟩$y $|\psi_f⟩$; esto luego se salpica con el vector potencial fijo $\mathbf A(\mathbf R,t)$para dar la tasa de transición.

Sin embargo, para un centro de masa dinámico, que comienza en el estado$|\chi_i⟩$y que estamos investigando en el estado$|\chi_f⟩$, la probabilidad de transición completa dice

$$\sum_{i>0}\left(\frac{q_0}{m_0}-\frac{q_i}{m_i}\right)⟨\psi_f|\ppi_i|\psi_i⟩ \cdot ⟨\chi_f|\mathbf A(\mathbf R,t)|\chi_i⟩.$$

Aquí el elemento de la matriz$⟨\chi_f|\mathbf A(\mathbf R,t)|\chi_i⟩$controla directamente la absorción de un cuanto de momento en el estado del centro de masa. Para obtener la conservación total del momento, realmente debería considerar un ejemplo con un campo monocromático,

$$\mathbf A(\mathbf R,t)=\mathbf A_0\cos(\mathbf k\cdot\mathbf R-\omega t),$$ por lo que el campo da una contribución de momento bien definida, y con estados inicial y final que tienen momentos definidos $\mathbf k_i$y $\mathbf k_f$respectivamente, es decir, ondas planas con esos vectores de onda. El elemento de la matriz entonces lee $$\begin{align} ⟨\chi_f|\mathbf A(\mathbf R,t)|\chi_i⟩ &= \mathbf A_0 \int\frac{\mathrm d\mathbf R}{(2\pi\hbar)^3} e^{i(\mathbf k_i-\mathbf k_f)\cdot\mathbf R/\hbar}\cos(\mathbf k\cdot\mathbf R-\omega t) \\&= \frac12\mathbf A_0\left( \delta(\mathbf k_i-\mathbf k_f+\mathbf k)e^{-i\omega t} + \delta(\mathbf k_i-\mathbf k_f-\mathbf k)e^{+i\omega t} \right). \end{align}$$ En una imagen de campo cuantificado, el primer término de frecuencia positiva se convierte en un operador de aniquilación que resta un fotón del campo y suma $\hbar\mathbf k$impulso al movimiento del centro de masa, y el segundo término se convierte en un operador de creación que emite un fotón mientras elimina $\hbar\mathbf k$cantidad de movimiento del movimiento del átomo. Si está utilizando un campo clásico con materia cuantificada, la aproximación de onda giratoria generalmente requerirá que mantenga solo el primer término para absorción y solo el segundo término para emisión, con los efectos correspondientes en el momento del centro de masa.

Energía

Finalmente, ¿qué pasa con la energía cinética? Ingenuamente, la energía del fotón idealmente debería ser ligeramente más alta que la energía de transición para tener en cuenta el aumento en la energía cinética del centro de masa (esto olvida que el láser también puede ralentizar el átomo si está volando hacia el láser y el láser es desplazado hacia el rojo, pero es todo lo mismo, en realidad). ¿Cómo se explica esto?

De hecho, notará que no he hablado en absoluto sobre consideraciones energéticas, y ciertamente no he impuesto ninguna relación entre los estados internos inicial y final y el hamiltoniano atómico. Resulta que el movimiento externo se trata exactamente de la misma manera.

Al principio, dividí el hamiltoniano en una parte atómica y otra de interacción:

$$\hat H = \sum_i\frac{\mathbf p_i^2}{2m_i}+V(\mathbf r_0,\ldots,\mathbf r_N)-\sum_i\frac{q_i}{m_i}\mathbf p_i\cdot\mathbf A(\mathbf r_i,t) =\hat H_\mathrm{at}+\hat H_\mathrm{int}$$ (Para un campo cuantizado, también necesitaría incluir un hamiltoniano de campo, por supuesto). Ahora, el hamiltoniano atómico, como se indicó, es una función de las coordenadas individuales, pero idealmente queremos reformularlo en términos del centro positivo interno: coordenadas de masa. Esto entonces da $$\hat H_\mathrm{at} =\frac{\mathbf P^2}{2M} +\left[ \sum_{i>0}\frac{\ppi_i^2}{2\mu_i}+\sum_{i\neq j>0}\frac{\ppi_i\cdot\ppi_j}{2m_0} + V(\mathbf 0,\rro_1,\ldots ,\rro_N) \right] =\hat H_\mathrm{COM}+\hat H_\mathrm{el}.$$ La energía cinética del centro de masa se tiene en cuenta directamente y el hamiltoniano interno $\hat H_\mathrm{el}$es lo que en realidad diagonalizamos cuando encontramos los estados propios electrónicos. (Aquí $\mu_i=(m_i^{-1}+m_0^{-1})^{-1}$es el $i$th masa reducida, y los términos cinéticos cruzados son generalmente suprimidos por la gran masa nuclear $m_0$.)

Sin embargo, lo que es más importante, si queremos decir que el sistema pasó de un estado de energía definida a otro estado de energía definida al absorber un fotón, entonces necesita pasar de un estado propio a otro del hamiltoniano atómico completo .$\hat H_\mathrm{at}$, y esto incluye el grado de libertad del centro de masa. Entonces, la energía del fotón debe tener en cuenta el cambio de energía en todo el asunto, no solo la transición electrónica.