¿Cómo describe un estado con una matriz de densidad después de medir la posición?

Si ya tiene una matriz de densidad, use la imagen de Heisenberg. En la imagen de Heisenberg, el estado nunca cambia. En cambio, los operadores correspondientes a los observables cambian en el tiempo. Así que si mides la posición en el tiempo$t_1$, entonces la matriz de densidad y el estado no cambian, pero ahora, si más tarde desea medir algo más, como la posición en el tiempo$t_2$entonces necesitas considerar operadores como$\hat x(t_2)-\hat x(t_1)$dependiendo exactamente de lo que estés midiendo.

Sin embargo, tal vez su operador de posición fue parte de su preparación estatal. Entonces mediste tu sistema a tiempo$t_0$y obtuve un resultado$x_0$y todo eso fue preparación estatal. En ese caso, su matriz de densidad es el estado puro.$|x_0\rangle\langle x_0 |$. Si medir era parte de la preparación, pero el resultado$x_0$no lo era, entonces si$\Psi$es el estado de la materia prima, entonces podría considerar el estado mixto$\displaystyle \int\mathrm dx\,\overline{\Psi(x)}\Psi(x)|x\rangle\langle x |.$

De acuerdo, esas son generalmente las opciones para usar una matriz de densidad, dejar el estado solo y ajustar los operadores correspondientes a los observables a lo largo del tiempo (el enfoque habitual) o hacer un estado puro o mixto dependiendo exactamente de cómo preparó su estado original. Pero el cuerpo de su pregunta parecía estar relacionado con los estados propios del operador de posición, así que tratemos eso.

Un enfoque es usar Rigged Hilbert Spaces o algo similar para que las funciones propias de posición y momento sean cosas matemáticamente legítimas. Esta es una capa de abstracción completamente adicional, el sujetador y el ket se convierten en funciones en sí mismos, por lo que la matriz de densidad es una función de orden aún mayor. Entonces, tal vez sea útil asegurarse de saber qué es una matriz de densidad hacia atrás y hacia adelante para evitar perderse.

Otro enfoque es observar la configuración experimental real donde la medición no es perfecta, en su lugar, tiene un detector que reacciona en una región finita, por lo que el estado propio es el estado posterior a la interacción, que tiene soporte en una región finita. Asegúrese de darse cuenta de que una medida físicamente realizable podría no estar completa en el sentido de que podría haber otros operadores que conmutan con ella, así que no cometa el error matemático de suponer que está completa.

También puede hacer enfoques de celosía donde el espacio continuo se reemplaza con una celosía discreta de puntos. O reemplace el espacio infinito con una caja gigante de longitud$L$y tome el límite como$L$va al infinito más tarde. O cualquier otro enfoque que reemplace los fundamentos matemáticos pero que esté diseñado para dar la misma respuesta que vemos en la realidad cuando tomas el límite final.

La filosofía detrás de todos estos enfoques es que obtener una función propia perfecta de impulso o posición no es algo que realmente hagas, es una aproximación de lo que realmente haces, una idealización. Así que puedes describir lo que realmente haces o puedes ajustar el sistema de manera que no afecte cómo la idealización difiere de lo que realmente haces. Tiene cierta libertad para ajustar las matemáticas y el modelo para acomodar cosas que realmente no hace, para que sean convenientes para usted. La conveniencia para usted es realmente la única razón legítima para hablar de cosas que no hace (y no puede) hacer.

Puede usar el vector, simplemente expresarlo en un "nivel inferior" es difícil

Cuando tu dices$\langle x| x_0\rangle = \delta(x - x_0)$ya lo está logrando, incluso si está un poco confundido acerca de cuál es la "raíz cuadrada de un$\delta$-función" parece en términos de una función de onda real y honesta. Entonces, por ejemplo, una vez que tenga el resultado anterior, puede escribir fácilmente

$$\hat x = \int_{\mathbb R} \mathrm dx'~ x' ~ |x'\rangle\langle x'|,$$ de donde descubres que $$\hat x |x_0\rangle = x_0 |x_0\rangle,$$ por lo tanto si$\rho_0 = |x_0\rangle\langle x_0|$entonces$\langle \hat x \rangle_{\rho_0} = x_0$, y si$\rho = |\Psi\rangle\langle\Psi|$para$|\Psi\rangle = \displaystyle \int_{\mathbb R} \mathrm dx~\Psi(x)|x\rangle$entonces $$\langle \hat x \rangle_\rho = \iiint_{\mathbb R^3} ~\mathrm dx~\mathrm dx'~\mathrm dx''~\langle x'' | \Psi^*(x'') ~ x' |x'\rangle\langle x'| ~ \Psi(x) |x\rangle = \int_{\mathbb R} \mathrm dx~\Psi^*(x) ~ x ~ \Psi(x).$$ Haciendo el análogo para$\hat p$también parece factible, pero lo escribiría escribiendo la transformada de Fourier hacia y desde la base en lugar de actuar sobre el parámetro$x$.

Así que no hay nada de malo en esto; simplemente, creo, te sientes incómodo escribiendo$\Psi_{x_0}(x) = \sqrt{\delta(x - x_0)}$más o menos, porque el Dirac$\delta$-función no es realmente una función. Deberías sentirte incómodo por eso. Hablemos de cómo rectificarlo. (Descargo de responsabilidad: estoy robando la mitad de una respuesta de alguien a quien ya le respondí).

Cómo hacer sistemas continuos

Para sistemas continuos, queremos una familia de soluciones basadas en algunos parámetros que identificaré colectivamente como$\alpha \in A$; las soluciones se etiquetan simplemente como$|\alpha\rangle$. No es necesario que sean funciones propias de un hamiltoniano u ortogonal ni nada por el estilo para usarlos como "base", solo deben satisfacer un requisito importante: debe haber un núcleo de normalización, una función$\mathcal N(\alpha)$, de modo que ellos, con el núcleo, "resuelvan la identidad":

$$\hat 1 = \int_{A} d\alpha ~\mathcal N(\alpha)~ |\alpha\rangle\langle\alpha|,$$ dónde$\hat 1$es el operador de identidad.

Esta generalización de la regla de probabilidad usual$|\psi(\alpha)|^2 = \operatorname{Pr}(a = \alpha|\text{state} = \psi)$es necesario en ciertos contextos, por ejemplo, cuando desea hablar sobre estados coherentes como base para sus funciones de onda y se superponen de modo que$\langle \alpha | \beta \rangle \ne 0$cuando$\alpha \ne \beta$. O, como está viendo, es necesario si desea usar gaussianas centradas en varias posiciones como base de posición.

Una vez que tenga la propiedad anterior, puede calcular cualquier valor esperado con esas coordenadas. Debido a que trace es cíclicamente permutativo , sus valores esperados

$$\langle A \rangle_\rho = \operatorname{Tr} \left(\hat A~\rho\right)$$ convertirse $$\langle A \rangle_\rho = \int_A \mathrm d\alpha~\mathcal N(\alpha)~\langle \alpha | ~\hat A ~ \rho~ |\alpha\rangle.$$ Una opción que podemos elegir está "inspirada" por los estados coherentes:$\alpha = (q, p)$,$A = \mathbb R^2$, y$\lambda$ser una constante arbitraria; ahora podemos definir $$|q, p\rangle = \int_{-\infty}^\infty \mathrm dx~ \left(2 \pi \lambda^2\right)^{-1/4}~ \exp\left({(x - q)^2 \over 4 \lambda^2} + i ~ \frac{p ~ x}{\hbar}\right)~|x\rangle$$ donde de hecho solo tratamos$\langle x | x_0\rangle = \delta(x - x_0)$. Entonces no es demasiado difícil ver que$\langle q, p | \hat x | q, p\rangle = q$y$\langle q, p | \hat p | q, p\rangle = p.$Si he hecho todo bien entonces$\mathcal N(q, p) = 1 / (2 \pi \hbar)$no importa qué$\lambda$en realidad lo es, por lo que puede configurarlo en la tolerancia de error de su medición de posición si lo desea.

Después de la medición

Ahora sabemos que el estado$|\phi\rangle$es lo mismo que el estado:

$$|\phi\rangle = \hat 1 |\phi\rangle = \iint \frac{\mathrm dp~\mathrm dq}{h} |q, p\rangle \langle q, p | \phi\rangle = \iint \frac{\mathrm dp~\mathrm dq}{h} ~\phi(q, p)~ |q, p\rangle$$ Proyectamos esto en el resultado de la medición al aceptar cualquier$p$pero rechazando cualquiera$q \ne x_0$: $$\alpha |\phi'\rangle = \int \mathrm dp' ~|x_0, p'\rangle~ \iint \frac{\mathrm dp~\mathrm dq}{h} \langle x_0, p'| q, p\rangle ~ \phi(q, p).$$ Nosotros elegimos$\alpha$para normalizar el estado resultante y$\lambda$para reflejar nuestra precisión de medición y este estado resultante$|\phi'\rangle$es el estado del sistema después de la posición$x_0$es medido. Parte del impulso debe ser entonces "exprimido" por$\lambda$de varias maneras como resultado de esta función de transferencia$\langle x_0, p'|q, p\rangle$: pero para muy grande$\lambda$el$p, p'$parte de esta transferencia parece una transformada de Fourier de una Gaussiana muy amplia, y es una Gaussiana muy estrecha con respecto a$p - p'$, comportándose así como$\delta(p - p').$

Me han enseñado que cuando mides el valor de un observable para algún estado de un sistema descrito por$|\psi\rangle$entonces el estado del sistema "colapsa" al vector propio asociado con el valor propio medido. ...

Siguiendo esta lógica, cuando mides la posición de una partícula descrita por$|\psi\rangle$y obtienes un valor$x_0$entonces el estado debería colapsar a un vector propio$|x_0\rangle$. Sin embargo, como es obvio, este vector propio es la función delta de dirac en base a la posición,$\langle x|x_0\rangle = \delta (x-x_0)$. ...

Esto me parece inaceptable ya que este estado no es normalizable y además cosas simples, como$\langle \hat{x}\rangle$no están definidos para este estado.

Exactamente. La resolución de este rompecabezas es que la suposición original, la primera oración citada, no es universalmente válida. Es bastante útil para espectros discretos, por ejemplo para giros (aunque la práctica es más complicada que la simple gimnasia de proyección), pero para espectros continuos es incorrecto cuando se toma literalmente. (algunas interpretaciones ni siquiera consideran necesario el postulado de proyección en la teoría cuántica, por ejemplo, la interpretación estadística de Ballentine).

Matemáticamente, esto significa que no existe una función de onda normalizable por Born que describa la certeza en la posición o el momento.

Físicamente, una salida es darse cuenta de que los resultados de las mediciones de variables continuas siempre tienen una incertidumbre que no desaparece y usar picos con el ancho correspondiente para describir el sistema después de la medición. Sin embargo, no tengo claro qué tan útil ha sido esto hasta ahora.

Recuerdo haberme hecho la misma pregunta hace unos diez años. ¿Cómo es posible tener una posición de partícula definida en todo momento?

La respuesta (y no estoy seguro de cómo se ajusta al esquema de matriz de densidad, ya que ha pasado un tiempo) está relacionada con la relación de dispersión del sistema).

En efecto$\delta(x-x_o)$no es un estado propio de ningún sistema (excepto para un dirac, si no me equivoco) y el paquete de ondas se dispersará rápidamente una vez que se haya tomado la medida.

En otras palabras, el tiempo en sí mismo hará que la superposición inicial se aplane.

Básicamente, debe invocar la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo para resolver el problema y, finalmente, una matriz de densidad dependiente del tiempo.

¿Tiene sentido?