¿Cómo se deriva la constante de la Ley de Biot-Savart?

La constante en la ley de Biot-Savart en realidad no se deriva de nada: se define esencialmente con un valor fijo, que luego sirve como una definición del amperio SI.

La ley de Biot-Savart para un bucle de corriente$C$,

$$\mathbf B(\mathbf r)=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_C \frac{I\mathrm d\mathbf l'\times(\mathbf r-\mathbf r')}{|\mathbf r-\mathbf r'|^3},$$ no es particularmente útil por sí solo, y debe combinarlo con la fuerza de Lorentz para obtener una consecuencia medible. En particular, la fuerza en un segundo bucle de corriente $C'$es entonces $$\mathbf F_{C'} = \int_{C'} I'\mathrm d\mathbf l'\times\mathbf B(\mathbf r') = \frac{\mu_0}{4\pi}\int_{C'} I'\mathrm d\mathbf l'\times\int_C \frac{I\mathrm d\mathbf l\times(\mathbf r'-\mathbf r)}{|\mathbf r'-\mathbf r|^3}.$$ Esta fuerza - la fuerza en un bucle actual $C'$llevando una corriente $I'$causado por una corriente $I$en un bucle $C$- depende de dos factores: la geometría, y los valores de las corrientes. Afortunadamente, estos dos factores se separan por completo: $$\mathbf F_{C'} = \frac{\mu_0}{4\pi} I'I\int_{C'}\int_C \frac{\mathrm d\mathbf l'\times\left(\mathrm d\mathbf l\times(\mathbf r'-\mathbf r)\right)}{|\mathbf r'-\mathbf r|^3} =\frac{\mu_0}{4\pi}I'I \times \boldsymbol{\mathcal G}_{C'C}.$$ Aquí el factor geométrico $\boldsymbol{\mathcal G}_{C'C}$es el mismo independientemente de las corrientes, y es solo una función de los bucles. La implicación es entonces que podemos fijar la constante para una sola geometría, un caso simple que es fácil de analizar e implementar, y luego esto funcionará para todas las geometrías. En particular, la geometría de referencia son dos hilos infinitos a una distancia $L$aparte, en cuyo caso la fuerza sobre una unidad de longitud $\Delta l$de cada alambre es $$\frac{\Delta \mathbf F}{\Delta l} = \frac{\mu_0 I'I}{2\pi L}\hat{\mathbf u}.$$

Aquí es donde entra la definición del amperio: fijamos el valor de$\mu_0$en$4\pi\times10^{-7} \:\mathrm{N/A^2}$, y esto nos permite definir el amperio como

El amperio es la corriente constante que, si se mantiene en dos conductores paralelos rectilíneos de longitud infinita, de sección circular despreciable, y colocados a 1 metro de distancia en el vacío, produciría entre estos conductores una fuerza igual a 2 × 10 ⁻⁷ newton por metro de longitud.

Hay muchas formas de definir las unidades electromagnéticas, pero en algún momento necesitará hacer una nueva definición y establecer un estándar para medir la carga eléctrica. En general, esto se puede hacer mediante un estándar de carga (esencialmente fijando la constante en la ley de Coulomb) o mediante un estándar de corriente como se indicó anteriormente. El SI eligió este último porque permite mejores propiedades metrológicas del sistema resultante: facilita la producción de sistemas de medición que son consistentemente precisos en todas partes.

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Dicho esto, la forma$\mu_0/4\pi$definitivamente parece muy sospechoso, al igual que el valor de la permeabilidad magnética del vacío,$\mu_0=4\pi\times10^{-7} \:\mathrm{N/A^2}$; seguramente esos vinieron de alguna parte , ¿verdad? La respuesta más clara es que, dado que son definiciones, podemos definir lo que queramos, y solo necesitamos justificarlas más tarde (si es que lo hacemos) mostrando que son opciones convenientes.

Por supuesto, el sistema SI de unidades electromagnéticas tiene una larga historia, que es de donde provienen esos valores, pero esa historia no es realmente relevante en este momento: las constantes SI como$\mu_0/4\pi$tienen la forma que tienen porque hace que las ecuaciones 'reales' del electromagnetismo (y, en particular, las ecuaciones de Maxwell) tengan una forma más limpia. De manera similar, los valores numéricos de las constantes (por ejemplo, por qué$4\pi\times10^{-7}$en lugar de solo$4\pi$?) fueron elegidos porque alcanzan un buen punto medio para que la mayoría de las mediciones eléctricas diarias tengan valores razonables.

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Y, como palabra final: lo anterior es la situación a partir de este escrito, pero los estándares SI se están redefiniendo , y el nuevo sistema probablemente entrará en vigencia alrededor de 2018 . En el nuevo sistema, pasaremos de arreglar$\mu_0$fijar el valor de la carga de un electrón en aproximadamente

$$e=1.602\,176\,487\,186\times 10^{-19}\:\mathrm C,$$ o más específicamente a cualquier valor numérico específico que sea más preciso según CODATA en el momento de la transición, muy parecido a lo que se hizo con el medidor cuando la velocidad de la luz se fijó en su valor exacto actual en 1983.

La redefinición del amperio y el coulomb tendrá algunas consecuencias de gran alcance en términos de cómo se implementan los estándares (sobre los que puede leer más en esta respuesta mía ), y también cambia lo que sucede con la constante en el Biot -Ley de Savart. En particular,$\mu_0$pasa de tener un valor fijo, exacto, a ser determinado experimentalmente, con el valor

$$\mu_0=\frac{2h}{ce^2}\alpha.$$ Aquí $h$es la constante de Planck, $c$es la velocidad de la luz y $e$es la carga del electrón, todos los cuales tienen valores fijos. La incertidumbre entra $\alpha$, la constante de estructura fina , que es una constante natural adimensional que debe medirse experimentalmente y que, en términos generales, mide qué tan fuerte es el acoplamiento electromagnético (en forma de la constante de Coulomb $e^2/4\pi\varepsilon_0$) en comparación con la medida estándar relativista cuántica de la fuerza de acoplamiento, $\hbar c$.

Esto parece una forma aún más complicada de definir la constante en la ley de Biot-Savart, pero es por una razón: como resultado de la larga historia de los estándares de medición eléctrica y para seguir siendo compatible con más de un siglo de mediciones eléctricas y tecnología, al mismo tiempo que permite que lo mejor de la tecnología de punta en mediciones de precisión avance y permita mediciones científicas mejores, más precisas, más estables y más consistentes en el futuro.