¿Cómo se definen las invariancias de gauge globales y locales?

multiplicando por$e^{i\theta}$es una rotacion de$\theta$en el plano complejo. Físicamente cambia la fase de una onda plana por un ángulo$\theta$. Esta es una simetría global porque elegimos arbitrariamente un punto de referencia para medir la fase de las ondas planas. Si cambiamos la fase de todas las ondas planas en la misma cantidad, esto es equivalente a simplemente mover nuestro punto de referencia. La analogía habitual es añadir algo de distancia$d$a todas las alturas de las montañas de la Tierra. Esto solo mueve nuestra referencia del nivel del mar por una distancia$d$y en realidad no cambia las montañas.

Una transformación de calibre local no es un subconjunto de una transformación de calibre global. En este sentido, el nombre es un poco engañoso. Siguiendo con nuestra analogía de las alturas de las montañas, una transformación de calibre local sería agregar una distancia diferente$d(x)$a cada altura de la montaña, donde$x$es alguna función de la posición de la montaña. Obviamente, las alturas de las montañas en la Tierra no son invariantes bajo esta transformación local, porque algunas alturas cambiarían más que otras.

En el contexto de la mecánica cuántica, los observables se calculan utilizando alguna ecuación. Para que nuestro sistema sea invariable bajo una transformación de calibre local, significa que las ecuaciones que describen los observables deben dar los mismos resultados cuando aplicamos alguna transformación de calibre local. Esto restringe severamente la forma que pueden tener esas ecuaciones.

De hecho, las transformaciones de calibre global son un subconjunto de la transformación de calibre local: cambiar la misma cantidad en todas partes es un caso especial (es decir, más restrictivo) de cambiar la fase de cada punto de forma independiente.

En el Lagrangiano de Dirac

$$\mathcal{L} = \bar{\psi}(i\gamma^\mu\partial_\mu - m)\psi$$ tienes que derivar $\psi$. Si haces una transformación global $\psi \to e^{-i\theta}\psi$ $\bar{\psi} \to \bar{\psi} e^{i\theta}$, $$\mathcal{L} \to \bar{\psi} e^{i\theta}(i\gamma^\mu\partial_\mu - m)e^{-i\theta}\psi$$ entonces $e^{-i\theta}$es una constante, saca la derivada y cancela con el término de $\bar{\psi}$, por lo que el lagrangiano es invariante. Pero si haces una transformación local $\psi \to e^{-i\theta(x)}\psi$ $\bar{\psi} \to \bar{\psi} e^{i\theta(x)}$, tienes que derivar tanto el espinor como el cambio de fase usando la regla de Leibniz $$\mathcal{L} \to \bar{\psi} e^{i\theta(x)}(i\gamma^\mu\partial_\mu - m)e^{-i\theta(x)}\psi = \bar{\psi} (i\gamma^\mu\partial_\mu - m)\psi + \bar{\psi}\gamma^\mu (\partial_\mu\theta) \psi$$ Si $\partial_\mu \theta \neq 0$(es decir, la transformación depende de las coordenadas y no es global), el término adicional estropea la invariancia del calibre (a menos que agregue un campo de calibre).