¿Cómo se define un estado ligado en la mecánica cuántica?

Question

¿Cómo se define un estado ligado en la mecánica cuántica?

Física
definición
espacio de hilbert
superposición
estados-cuánticos
mecánica cuántica

SRS

¿Cómo se define un estado límite en la mecánica cuántica para estados que no son estados propios del hamiltoniano, es decir, que no tienen energías definidas? ¿Puede un estado de superposición como

ψ (X, t) = \frac{1}{\sqrt{2}} ϕ_{1} (X, t) + \frac{1}{\sqrt{2}} ϕ_{2} (X, t),

$\psi(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2}}\phi_1(x,t)+\frac{1}{\sqrt{2}}\phi_2(x,t),$ donde

ϕ_{1}

$\phi_1$ y

ϕ_{2}

$\phi_2$ ¿Son los estados propios de energía un estado ligado? ¿Cómo decidir?

Respuestas (4)

¿Cómo se define un estado ligado en la mecánica cuántica?

una oferta no se puede rechazar · Answer 1

una oferta no se puede rechazar

El estado límite se define de tal manera que el promedio de densidad de probabilidad será finito en alguna región espacial particular cuando pase el tiempo. Mientras que para estados no acotados, a medida que pasa el tiempo, la densidad de probabilidad tiende a cero. Consulte la sección 10 de Mecánica Cuántica de Landau .

Esto se puede entender así, si el estado está acotado, es decir, existe solo dentro de una región particular, por lo que la densidad de probabilidad debe ser finita en esa región a medida que pasa el tiempo. Por el contrario, cuando el estado es un movimiento libre, el paquete de ondas se expandirá a medida que pasa el tiempo, por lo que la densidad de probabilidad en cualquier punto tiende a cero a medida que el tiempo tiende a infinito.

Editar: ahora quiero decir que los estados propios discretos O las superposiciones de estos son estados ligados; mientras que por lo demás es ilimitado.

Tenga en cuenta que en esta definición de estado ligado, la energía promedio $E<V(\pm\infty)$ siempre aguanta. Sin embargo, $E<V(\pm\infty)$ no puede garantizar que un estado esté acotado. Por ejemplo, un estado (como este) compuesto de espectros discretos y espectros continuos, puede tener su energía promedio $E$ ya sea más grande o más pequeño que $V(\pm\infty)$ . Se podría decir que es ilimitado, depende.

el criterio $E<V(\pm\infty)$ garantiza un estado acotado si y sólo si por $E$ te refieres a la energía de un estado propio.

xiaohuamao

¿Qué pasa con la probabilidad de 0,5 en la región finita A y las otras 0,5 manchas hasta el infinito? Parece contradictorio con su primera oración def.

una oferta no se puede rechazar

@huotuichang Sí, también pensé eso ayer. Entonces, ¿diremos que el estado límite sin estado propio es la superposición de los estados propios correspondientes a los valores propios discretos? ¿Si bien no está ligado ni no ligado cuando tiene un componente de movimiento infinito?

xiaohuamao

por que no usar

E > V (\infty)

$E>V(\infty)$ como criterio para estados ilimitados?

una oferta no se puede rechazar

@huotuichang El uso de este criterio significa que algún estado tiene un componente de movimiento infinito limitado, mientras que otros pueden no estarlo. Por eso creo que es ambiguo hablar de ligado o no ligado cuando se trata de una mezcla de estados discretos y continuos.

xiaohuamao

No, lo considero unívoco. Acabo de encontrar que el caso finito A + infinito mencionado anteriormente no es realista, ya que solo ocurre cuando hay un muro infinitamente alto, lo que hace que las dos regiones estén totalmente desconectadas de facto. Así que dame un ejemplo de tipo de mezcla si puedes.

una oferta no se puede rechazar

@huotuichang No tengo un ejemplo de un sistema real a mano. ¿Por qué no explicas por qué crees que esto no es realista? Dado que matemáticamente, siempre podemos escribir un estado compuesto por esas dos partes.

Vacío

Considere el oscilador armónico , todos los estados vinculados caen exponencialmente, pero casi en todas partes son distintos de cero. Para una definición verdaderamente rigurosa, tendría que decir que un estado ligado está en una región finita hasta una caída exponencial. Que es básicamente como decir que el espectro del estado está estrictamente por debajo

V (\infty)

$V(\infty)$ . El único mérito de esta definición es en el caso de hamiltonianos dependientes del tiempo.

una oferta no se puede rechazar

@Void Para los estados ligados que son estados estacionarios

E_{n} < V (\infty)

$E_n<V(\infty)$ , lo que quiero decir es que la combinación lineal de ellos también es un estado ligado. El valor esperado de la energía.

E

$E$ porque ese estado es obviamente menor que

V (\infty)

$V(\infty)$ , es lo mismo que su argumento. pd: a que te refieres con tu ultima frase

Vacío

@luming Sí, eso es lo que quiero decir con que el espectro está estrictamente por debajo

v (\infty)

$v(\infty)$ - es una superposición de estados propios de energía con energía por debajo

V (\infty)

$V(\infty)$ y no tiene que entrar en definiciones complicadas para definir un estado vinculado que no sea ese. En el caso de un hamiltoniano dependiente del tiempo, el potencial podría "expulsar" el estado, por ejemplo, invirtiendo su signo (es decir, los estados propios de energía en un tiempo fijo no son estacionarios). El estado ligado que se define con una caída exponencial en todo momento es útil.

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@Void ¿Qué pasa con el estado? Es una mezcla de discreto y continuo, es difícil decir que es un estado vinculado. Sin embargo

E < V (\infty)

$E<V(\infty)$ es posible en este caso.

Vacío

@luming Realmente no entiendo lo que estás preguntando. Los autoestados continuos nunca son

E < V (\infty)

$E<V(\infty)$ e incluso si lo fueran, la descomposición en estados propios de energía es única con un conjunto completo de observables conmutables . De la ecuación de Schrödinger se sigue inmediatamente que para

x, V (x) > E

$x,\, V(x)>E$ la función de onda debe caer exponencialmente.

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@Void Ya no estoy hablando de estado propio, estoy tratando de decir el

E < V (\infty)

$E<V(\infty)$ el criterio falla cuando hablamos de un estado físico como este physics.stackexchange.com/q/139311 . Como la energía media puede ser inferior a

V (\infty)

$V(\infty)$ en este caso, sin embargo, no puede decir si está obligado o no

Vacío

Continuemos esta discusión en el chat .

Emilio Pisanty · Answer 2

Por lo general, se entiende que los estados ligados son estados propios de energía integrables al cuadrado; es decir, funciones de onda $\psi(x)$ que satisfacen

\int_{- \infty}^{\infty} | ψ (X) |^{2} d X < \infty y \hat{H} ψ = mi ψ .

$\int_{-\infty}^\infty|\psi(x)|^2\text dx<\infty \quad\text{and}\quad \hat H \psi=E\psi.$

Esto se usa típicamente en comparación con los estados continuos , que obedecerán (formalmente) la ecuación de valor propio $\hat H\psi=E\psi$ , pero cuya norma es infinita. Debido a que su norma es infinita, estos estados no se encuentran dentro del espacio de Hilbert habitual. $\mathcal H$ , típicamente tomado como $L_2(\mathbb R^3)$ , razón por la cual la ecuación de valor propio solo es formalmente verdadera si se toma ingenuamente: los estados se encuentran fuera del dominio del operador. (Por supuesto, es posible tratar rigurosamente con estados continuos, a través de una construcción conocida como espacios de Hilbert amañados , para los cuales esta es una buena referencia ).

una mente curiosa · Answer 3

Dado que los estados que no son estados propios del hamiltoniano tampoco lo son de la evolución temporal, no tiene sentido hablar de "estados ligados" para estos estados, ya que están cambiando continuamente a otros estados. Para estados propios de energía, tiene sentido hablar de "un estado ligado", ya que ese estado permanecerá igual para siempre a menos que se actúe en consecuencia.

Según esta definición, las ondas de Coulomb también son estados ligados.

Apoorv Potnis · Answer 4

Los estados ligados de un sistema son los estados en los que la(s) partícula(s) permanece(n) localizada(s) en una región limitada del espacio para todo el tiempo. Consideremos el caso de una sola partícula. $\mathcal{H} := \mathrm{L}^2(\mathbb{R}^3)$ es el espacio de Hilbert de una sola partícula donde $\mathbf{r} \in \mathbb{R}^3$ . un estado puro $|\psi\rangle \in \mathcal{H}$ se llama un estado ligado iff para cada $\epsilon > 0$ , existe un conjunto acotado $A \subset \mathbb{R^3}$ tal que

\int_{A} | ψ (r, t) |^{2} d^{3} r \geq 1 - ϵ

$\int_A |\psi(\mathbf{r}, t)|^2 \, \mathrm{d}^3\mathbf{r} \geq 1 - \epsilon$ para todos

t \in R

$t \in \mathbb{R}$ . La integral captura la probabilidad de que la partícula se encuentre en la región

A

$A$ en el momento

t

$t$ . Si esta probabilidad permanece arbitrariamente cerca de

1

$1$ para todos los tiempos, entonces podemos decir que la partícula permanece en esta región para todos los tiempos. Tenga en cuenta que primero arreglamos

A

$A$ y luego evolucionar los estados en el tiempo. Nuestra elección de

A

$A$ debe ser válido para todos los tiempos.

En los estados de dispersión, se puede pensar que la partícula escapa al infinito a medida que pasa el tiempo. De manera similar, si para todo conjunto acotado $A \subset \mathbb{R}^3$

\int_{A} | ψ (r, t) |^{2} d^{3} r \to 0,

$\int_A |\psi(\mathbf{r}, t)|^2 \, \mathrm{d}^3\mathbf{r} \rightarrow 0,$ como

t \to + \infty

$t \rightarrow +\infty$ , decimos que los estados son estados de dispersión . Ahora, para cualquier elección de nuestro conjunto acotado, la integral, es decir, la probabilidad de encontrar la partícula dentro de nuestra región

A

$A$ debe desaparecer como

t \to + \infty

$t \rightarrow +\infty$ . Si asumimos que nuestro hamiltoniano es independiente del tiempo, podemos reemplazar

t

$t$ por

| t |

$|t|$ .

Las definiciones pueden extenderse adecuadamente al caso de multipartículas.

Referencias:

Blanchard, Philippe; Bruning, Edward (2015). "Algunas Aplicaciones de la Representación Espectral". Métodos matemáticos en física: distribuciones, operadores espaciales de Hilbert, métodos variacionales y aplicaciones en física cuántica (2.ª ed.). Suiza: Springer International Publishing. pag. 431. ISBN 978-3-319-14044-5.
Gustafson, Stephen J.; Sigal, Israel Michael (2011). "Espectro y Dinámica". Conceptos matemáticos de la mecánica cuántica (2ª ed.). Berlín, Heidelberg: Springer-Verlag. pag. 50. ISBN 978-3-642-21865-1.
Ruelle, David (9 de enero de 2016). "Una observación sobre los estados ligados en la teoría de la dispersión del potencial". Nuevo Cimento A (1965-1970) . 61 (junio de 1969): 655–662. doi: 10.1007/BF02819607. pdf _

No sé si una definición similar es válida para estados mixtos o no normales.

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Emilio Pisanty

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Apoorv Potnis

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