Cálculo de la velocidad de una órbita elíptica

Question

Cálculo de la velocidad de una órbita elíptica

PAO

Necesito una explicación de por qué mi solución a este problema no funciona (por favor, no me den una respuesta ni me digan exactamente cómo hacerlo, ya que esta es una pregunta de tarea que debo hacer yo mismo, aunque se permiten sugerencias) .

Me dan la velocidad para una distancia dada del sol en una órbita elíptica, y necesito calcular la velocidad a otra distancia dada.

Así que pensé en usar el hecho de que

$T\propto r^{\frac{3}{2}}$

$T^2\propto r^3$

$\therefore \frac{T^2}{r^3}=k$ ,

dónde $k$ es una constante.

Esto significa que

$\frac{T_1^2}{r_1^3}=\frac{T_2^2}{r_2^3}$ .

Sustituyendo $T=\frac{2\pi r}{v}$ da

$\frac{4\pi^2r_1^2}{v_1^2r_1^3}=\frac{4\pi^2r_2^2}{v_2^2r_2^3}$

$\frac{r_1^2}{v_1^2r_1^3}=\frac{r_2^2}{v_2^2r_2^3}$

$v_2=\sqrt{\frac{v_1^2r_1}{r_2}}$ .

Cuando conecto mis valores e ingreso mi respuesta, dice que está mal.

¿Por qué esta solución es incorrecta?

Completé esto ahora usando la conservación del impulso, pero aún así, ¿por qué esta solución es incorrecta?

TazónDeRojo

No necesitas la masa del cometa. Tanto la energía potencial gravitacional como la energía cinética tienen un

m

$m$ término que se cancelará.

PAO

Por supuesto, tonto de mí

HDE 226868

Si necesita encontrar la velocidad angular, siempre puede usar esta ecuación:

r = \frac{{yo}^{2}}{{metro}^{2} γ} \frac{1}{1 + mi porque θ}

$r=\frac{l^2}{m^2 \gamma}\frac{1}{1+e \cos \theta}$ Pero creo que eso es complicar demasiado las cosas.

HDE 226868

Mi único pensamiento es que tal vez la tercera ley de Kepler no sea válida para usar en diferentes partes de una órbita, sino simplemente para comparar dos órbitas.

Respuestas (3)

Cálculo de la velocidad de una órbita elíptica

No necesitas la masa del cometa. Tanto la energía potencial gravitacional como la energía cinética tienen un $m$ término que se cancelará.
Si necesita encontrar la velocidad angular, siempre puede usar esta ecuación: $r = \frac{{yo}^{2}}{{metro}^{2} γ} \frac{1}{1 + mi porque θ}$ $r=\frac{l^2}{m^2 \gamma}\frac{1}{1+e \cos \theta}$ Pero creo que eso es complicar demasiado las cosas.
Mi único pensamiento es que tal vez la tercera ley de Kepler no sea válida para usar en diferentes partes de una órbita, sino simplemente para comparar dos órbitas.

TazónDeRojo · Answer 1

Tu ecuación relaciona el período de la órbita con la longitud del semieje mayor, no con la distancia absoluta en ningún punto. Puedes usar la ecuación Vis-viva si tienes más información. Pero no tiene la longitud del semieje mayor u otros detalles sobre la órbita.

Como usted sugiere, la conservación de la energía es la forma más sencilla de avanzar.

floris · Answer 2

Me parece que puede estar malinterpretando el problema tal como se indica. Está asumiendo que se le pregunta sobre dos objetos diferentes (¿planetas?) En órbitas diferentes; pero creo, al leer la pregunta, que se le pregunta sobre el mismo objeto en diferentes puntos de su órbita elíptica.

Para un objeto en una órbita elíptica, la conservación del momento angular le indica cuál debe ser la velocidad tangencial en función de la distancia; y si la excentricidad de la órbita es pequeña, por lo que la velocidad radial puede despreciarse, entonces la solución se encuentra trivialmente.

Si no puede ignorar la velocidad radial, en realidad necesitaría saber en qué punto de la órbita se encuentra para completar el cálculo, porque si no conoce la excentricidad de la órbita, no puede simplemente calcular la relación de velocidades en dos puntos diferentes en una órbita si solo tienes los radios. Para órbitas donde $r_1$ y $r_2$ corresponde al perigeo y al apogeo (punto más lejano y más cercano), la velocidad radial es cero en ambos puntos y la conservación del momento angular se puede usar de manera trivial; mientras que si tuviera una órbita diferente con el mismo perigeo, pero una excentricidad diferente (y por lo tanto habría un componente radial de velocidad en $r_2$ ) entonces la relación de velocidades DEBE ser diferente.

La conservación de la energía debería poder ayudarlo aquí: sume las energías potencial y cinética en los dos puntos.

La razón por la que su intento inicial no funciona es que aplica la ley de Kepler de manera inapropiada: está utilizando la distancia instantánea $r$ como si fuera igual al semieje mayor. Lo cual solo es (generalmente) cierto para una órbita circular en cuyo caso $r_1=r_2$ y tu expresión dice que las velocidades permanecen iguales...

mike victor · Answer 3

En palabras simples, como la órbita es elíptica, debes saber que la velocidad no es constante en ningún punto de la órbita. Sigue cambiando.

T=2πr/v es válido solo para una órbita circular donde la velocidad en cada punto de la órbita es constante.

Conservación de energía: (v^2 / 2) - (GM/r) = -(GM/2a) donde, G = constante gravitatoria M = masa de la tierra m = masa del planeta (o lo que sea que esté orbitando) a = longitud del semieje mayor de la órbita elíptica v = velocidad en un punto que está a una distancia r del sol

En su lugar, debe usar la fórmula de conservación de energía para encontrar primero la longitud del semieje mayor y luego usar la fórmula de conservación de energía nuevamente para encontrar la velocidad requerida (o más bien la velocidad).

Cálculo de la velocidad de una órbita elíptica

PAO

TazónDeRojo

PAO

HDE 226868

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TazónDeRojo

floris

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