¿Cómo puedo calcular los elementos orbitales a partir de dos vectores de posición y una diferencia de tiempo?

Si no tiene otra información sobre la órbita de su satélite (por ejemplo, la órbita es circular), creo que debe resolver este problema con el teorema de Lambert asumiendo una órbita de transferencia elíptica (ver Wikipedia ). Sin embargo, que yo sepa, no existe una solución analítica y es necesario utilizar métodos numéricos o expansiones en serie.

En esta respuesta, intentaré presentar algunos aspectos sobre este problema y darte algunos consejos sobre cómo abordarlo.

Como establece el teorema, dado un parámetro gravitacional$\mu=GM$, el tiempo$\Delta t$requerido para realizar una transferencia dada es una función de

• el semieje mayor$a$de la órbita,
• la suma de$|\vec{r_1}| + |\vec{r_2}|$, y
• la longitud$c$de la cuerda que conecta las dos posiciones (ver figura abajo).

$\hskip1.8in$

Esto se puede expresar como:

en tu caso ya sabes$\Delta t$pero necesitas encontrar$a$. Verá que en realidad hay dos valores diferentes del semieje mayor que lo llevan de una posición a la otra en un cierto$\Delta t$(ver figura abajo).

        
Figura y texto de [Bate1971].

Si bien ambas soluciones son correctas y físicamente posibles, dado que está describiendo una órbita alrededor de la Tierra, es posible que pueda seleccionar la solución deseada (por ejemplo, la dirección del movimiento solo coincide con una de las soluciones y, en un caso extremo de un HEO , una de las las soluciones chocarán con la superficie de la Tierra).

Como introduje antes, que yo sepa, no existe una solución analítica para resolver este problema. Algunos métodos numéricos propuestos/expansiones de series incluyen:

• Lagrange-Battin (1977)
• Gauss-Battin (1971)
• Battin (Algoritmo elegante) (1984) ( aquí )

Entre otros. Una revisión del problema de Lambert la hacen D. de la Torre Sangrà y E. Fantino aquí (y aquí ).

Un procedimiento genérico de solución de Lambert podría ser:

1. Calcular los parámetros geométricos de la transferencia.

2. Obtener una suposición inicial para el parámetro libre

3. Iterar en la ecuación del tiempo de transferencia hasta la convergencia

4. Calcular los elementos orbitales

En [Bate1971] (Capítulo 5) se da una explicación más detallada del problema junto con los métodos/algoritmos propuestos para resolver el problema de Lambert.

¡Espero que ayude!

[Bate1971] Donald D. Mueller, Jerry White y Roger R. Bate, Fundamentos de astrodinámica, 1971