¿Cómo calcular las posiciones de los puntos lagrangianos?

Para obtener detalles sobre L4 y L5, incluida una solución fascinante en la que el triángulo equilátero cambia continuamente de tamaño, pero permanece equilátero, consulte esta respuesta . Estas y otras variantes del patrón triangular funcionan incluso cuando no se ignora ninguna de las masas. Si las tres masas son iguales, el centro de masa es igual al centro geométrico. Hay múltiples definiciones del centro de un triángulo , pero para un triángulo equilátero, todas coinciden. Si las masas no son todas iguales, el centro de masa estará en el promedio ponderado de las posiciones de los tres cuerpos, y todo el triángulo girará alrededor de este punto a una velocidad angular constante particular,$\omega^2 = G (m_1 + m_2 + m_3)/d^3$, dónde$d$es la distancia entre las tres masas .

L3 es uno de los lineales, encontrado por primera vez por Euler, al igual que L1 y L2. Se encuentra en la línea entre las dos masas más grandes, pero en el lado opuesto de la masa más grande, por lo que la alineación se ve así:

L3 --- Primario --- L1 --- Secundario --- L2.

Las ecuaciones típicas para L1, L2 y L3, como en Wikipedia , asumen que la masa más pequeña es efectivamente cero, pero eso tampoco es necesario. Las tres masas deben estar sobre una línea, y esa línea debe rotar uniformemente en un plano fijo, pero podemos encontrar las soluciones de las tres posiciones incluso cuando las tres masas son significativas. La ecuación a resolver es un polinomio de quinto grado en razón de las distancias entre las masas. No deduciré nada, pero solo lo remito al libro en el que lo leí: Introducción a las matemáticas y métodos de astrodinámica de Richard Battin , capítulo 8. Etiquete los cuerpos no por sus masas, sino por sus posiciones ordenadas de de izquierda a derecha, en el$\xi$eje, como$\xi_1 < \xi_2 < \xi_3$. Definir$r_{ij}$como la distancia$\xi_j-\xi_i$(positivo garantizado, por la forma en que los etiquetamos), y dejemos$\chi=r_{23}/r_{12}$. El valor$\xi=0$es el punto alrededor del cual gira todo el sistema,$\xi_1$debe ser negativo y$\xi_2$también puede serlo, dependiendo de las proporciones exactas de las masas. Después de un poco de álgebra, se llega a la ecuación