¿Cómo obtener una anomalía verdadera a partir del tiempo?

Un ejercicio que quedó sin resolver de la clase del año pasado me da esta ecuación:

$$t-t_{p} = \sqrt{\frac{a^3}{\mu}}*(\arcsin(X) - e*X)$$ dónde : $$X = \frac{\sqrt{1-e^2}*\sin(v)}{1+e*\cos(v)}.$$

Esta es solo la ecuación de Kepler.$M = E-e\sin E$, pero escrito en términos de$X = \sin E$, dónde$E$es la anomalía excéntrica. No tenemos una derivación de la ecuación de Kepler en este sitio, así que aquí va. Voy a empezar con una imagen.

La imagen de arriba muestra un cuerpo$P$en una órbita elíptica alrededor de un cuerpo$F$que ocupa uno de los focos de la elipse. La elipse tiene un semieje mayor.$a$a lo largo del eje horizontal y una excentricidad$e$. El centro de la elipse y el círculo que la circunscribe están en$C$. La proyección vertical de la ubicación actual sobre el círculo que la circunscribe se denota$P'$.

La segunda ley de Kepler dice que el área del sector elíptico$ZFP$es una función lineal del tiempo:$A(ZFP) = k(t-t_p)$, dónde$A(ZFP)$es el área en cuestión,$k$es una constante,$t$es el momento en que el objeto en órbita alcanza la posición$P$, y$t_p$es el momento del paso del periapsis. En una órbita completa, el área barrida por ese sector elíptico es el área de la elipse:$A(2\pi) = \pi a b$. De este modo$\pi a b = kT$, dónde$T$es el período orbital, o$k = \frac{\pi a b}T$. La tercera ley de Kepler combinada con la gravedad newtoniana a su vez nos dice que$\frac{2\pi}T = \sqrt{\frac \mu {a^3}}$, dónde$\mu$es el coeficiente gravitatorio del sistema$G(M+m)$. Definición$n = \sqrt{\frac \mu {a^3}}$, tenemos

$$A(ZFP) = \frac12ab\,n(t-t_p)\tag{1}$$

Necesitamos una expresión para$A(f)$. Para llegar allí, lo mejor es introducir el concepto de anomalía excéntrica . Esto se representa en la imagen como el ángulo$E$. Esto se forma proyectando el punto$P$verticalmente a la intersección con el círculo que lo circunscribe, denotado$P'$. dado un punto$x,y'$sobre el círculo circunscrito expresado con relación al centro$C$, el punto correspondiente en la elipse$x,y$resultados escalando el$y$coordinar por$\frac b a$:$y=\frac b a y'$. Esta escala significa que el área del sector elíptico$ZCP$es el área del sector circular$ZCP'$escalado por el mismo factor de escala. Dado que el área del sector circular$ZCP$es$\frac 1 2 a^2 E$con$E$expresada en radianes, el área del sector elíptico$ZCP$es$\frac 1 2 ab E$.

El área en cuestión, la del sector elíptico$ZFP$, es el área del sector elíptico$ZCP$menos el area del triangulo$FCP$. este último es$\frac12 \, ae \, b\sin E$(1/2 * base * altura), o$\frac12 ab\,e\sin E$. De este modo$A(ZFP) = \frac12 ab (E - e\sin E)$. Combinando esto con la ecuación (1) se obtiene

$$E-e\sin E = n(t-t_p) \equiv M \tag{2}$$

Esta es la ecuación de Kepler. Proporciona un mecanismo simple para calcular el tiempo en función de la posición. Calcular la posición en función del tiempo requiere invertir esta función trascendental de las dos variables$E$y$e$. Esta función inversa no puede expresarse en términos de las funciones elementales.

Un método muy simple, garantizado para trabajar, para encontrar$E$dado$M$y$e$es usar el esquema de iteración de punto fijo$E_{n+1} = M + e\sin E_n$. Cualquier conjetura inicial$E_0$lo hará, pero normalmente$M$se utiliza como estimación inicial. Esto converge para todos$M$y todas las excentricidades entre 0 (inclusivo) y 1 (exclusivo). La convergencia es muy lenta, particularmente para grandes excentricidades. Un mejor enfoque es usar el método de Newton, que exhibe convergencia cuadrática cuando converge . Se necesita una buena suposición inicial para grandes excentricidades para asegurar la convergencia. Incluso mejores enfoques, e incluso mejores conjeturas iniciales que$E_0=M$se han encontrado a lo largo de los siglos. La ecuación de Kepler es objeto de cientos de artículos científicos.

La inversión de la ecuación de Kepler nos da la anomalía excéntrica en función del tiempo. Pero ¿qué pasa con la verdadera anomalía$f$? La relación entre$E$y$f$se encuentra fácilmente usando la fórmula del medio ángulo tangente,$\tan^2 \frac x2 = \frac{1-\cos x}{1+\cos x}$. Las coordenadas del punto$P$con respecto al foco$F$son$x=a(\cos E-e)=r\cos f$,$y=a\sqrt{1-e^2}\sin E = r \sin f$. De este modo

$$\tan^2 \frac f 2 = \frac{1+e}{1-e} \,\tan^2 \frac E 2$$ (Deducir esto requiere derivar $r=a(\cos E - e)$, no se muestra.) Dado que la anomalía verdadera y la anomalía excéntrica están siempre en el mismo lado de la $x$eje, las tangentes de sus semiángulos tendrán siempre el mismo signo, resultando $$\tan \frac f 2 = \sqrt{\frac{1+e}{1-e}} \,\tan \frac E 2 \tag{3}$$

¿Qué pasa con el uso$X=\sin E$en vez de$E$, como se hace en la pregunta? Esa es una situación tipo "no hagas eso, entonces" (del chiste, "Doctor, me duele cuando me golpeo así:《 bonk 》"). Esto solo obtiene menos de la mitad de la elipse, y la convergencia de$\arcsin X - e X = M$es terrible (si es que converge). Use la ecuación de Kepler (ecuación (2)) para resolver$E$, luego resuelva la anomalía verdadera$f$(alternativamente escrito como$\nu$o$\theta$) a través de la ecuación (3).

editar: @DavidHammen acaba de publicar una respuesta mucho más completa y perspicaz , que también señala algunos problemas al aplicar el método de Newton al formulario actual.

Estoy bastante seguro de que nunca se ha descubierto una expresión analítica para resolver$\nu(t-t_p)$, pero resolviendo usando el método de Newton aplicado a

$$\sqrt{\frac{a^3}{\mu}}*(\arcsin(X) - e*X) - (t-t_p) = 0$$

debería converger muy bien a los valores de$X$(o por supuesto$\nu$si hace el reemplazo) en media docena de iteraciones, al menos para una órbita elíptica.

Sin embargo, en realidad no he verificado sus ecuaciones, solo confío en su palabra.

También puede calcular una matriz de puntos que resuelven el tiempo, voltearla e interpolar con una spline, pero la precisión no es predecible/confiable.