¿Por qué la condición de contorno de Neumann no representa flujo?

¿Cuál es la relación entre los campos de presión y desplazamiento/velocidad que de alguna manera hace que esta sea una condición sin flujo?

La condición de contorno de Neumann es simplemente una condición/restricción impuesta a los gradientes de algún parámetro,$Q$, normal a la superficie límite, o:

$$\mathbf{n} \cdot \nabla Q = f\left(\mathbf{r},t\right) \tag{1}$$ dónde $\mathbf{n}$es el vector normal unitario exterior al límite de la superficie y $f\left(\mathbf{r},t\right)$es alguna función escalar conocida/dada de posición y/o tiempo.

En el ejemplo específico que muestra, no hay gradiente de presión a lo largo del vector normal de la unidad exterior. De las ecuaciones de Euler sabemos que:

$$\rho \left( \partial_{t} \ \mathbf{u} + \mathbf{u} \cdot \nabla \mathbf{u} \right) = - \nabla \ P + \mathbf{F}_{ext} \tag{2}$$ dónde $\rho$es la densidad de masa del fluido, $\mathbf{u}$es la velocidad del elemento fluido, $P$es la presión escalar, $\mathbf{F}_{ext}$es alguna fuerza externa (generalmente se supone que es la gravedad), y $\partial_{j}$es solo la derivada parcial con respecto al parámetro $j$. En ausencia de gravedad o de una fuerza externa y simetría esférica, las Ecuaciones 1 y 2 muestran que: $$\left( \partial_{t} \ \mathbf{u} + \mathbf{u} \cdot \nabla \mathbf{u} \right) = 0 \tag{3}$$

Podemos reducir aún más esto usando la ecuación de continuidad que está dada por:

$$\partial_{t} \ \rho + \nabla \cdot \left( \rho \ \mathbf{u} \right) = 0 \tag{4}$$ y una suposición de estado estacionario para encontrar que $\nabla \cdot \mathbf{u} = 0$. En general, una velocidad sin divergencia se interpreta como un flujo incompresible , pero en un sistema simétrico esférico 1D (es decir, solo importa la dirección radial) esto también corresponde a la ausencia de flujo.

Entonces, ¿por qué la condición de frontera de Neumann representa flujo cero en la frontera?

En un análisis dimensional genérico, un flujo es solo una densidad multiplicada por una velocidad. Esto a menudo se muestra en varias formas de la ecuación de continuidad (p. ej., consulte la Ecuación 4 anterior para el flujo de fluidos), donde el primer término es la tasa de cambio de una densidad en el tiempo y el segundo es la divergencia de un flujo . La presión es un tipo de flujo de impulso . Así, la condición de que$\mathbf{n} \cdot \nabla P = 0$significa que no hay cambio en el flujo de cantidad de movimiento a lo largo de la unidad exterior normal del límite. La forma general de presión es un tensor de rango 2, no un escalar. Se reduce a un escalar cuando el sistema es simétrico y unidimensional.