¿Cómo puede un sistema alcanzar su estado estacionario si la acción I de un controlador PID, u(t), no llega a cero cuando el sistema se acerca a su valor deseado?

Imagine un sistema real como un horno. Desea mantener 350 ° F para que sus galletas se horneen correctamente.

La entrada a su controlador es el sensor de temperatura.

La salida al horno es el porcentaje que los calentadores deben permanecer encendidos versus apagados.

Para mantener una temperatura constante, la salida debe ser distinta de cero, e idealmente (sin que usted abra la puerta o cambie el voltaje de la línea, etc.) será constante.

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El sobreimpulso ocurre debido a la dinámica del sistema de bucle cerrado (subamortiguado) y también puede ocurrir debido a la liquidación integral, que es un efecto no lineal.

¿Por qué el sistema puede llegar a su valor final si siempre hay una señal de control activa?

Para un sistema donde$y(t) = 10u(t)$es fácil ver que para obtener cualquier valor distinto de cero$y(t)$necesitas un distinto de cero$u(t)$. En el caso de un sistema dinámico, recuerde que$Y(s) = G(s)U(s)$en el dominio del tiempo es

$$y(t) = g(t)y(0)+\int^t_0 g(t-\tau)u(\tau)d\tau,$$ para el sistema

$$G(s) = \frac{1}{s+2} \Longrightarrow g(t) = e^{-2t},$$

Incluso si comienzas con un valor distinto de cero$u(t)$, si desde un instante$t_0$adelante tienes$u(t)=0, \; t\geq t_0$, eso conduciría a

$$y(t+t_0) = g(t)y(t_0) + e^{-2t}\int^t_{t_0} e^{2\tau}u(\tau)d\tau = g(t)y(t_0),$$

en los casos en que tiene un sistema estable$G(s)$esto significará

$$y(t+t_0) \xrightarrow{t\rightarrow \infty} 0.$$

Entonces, tener$u(t)=0$desde un punto en adelante en un sistema estable conducirá al estado estacionario de$y=0$.

Un caso en el que podría tener un$u(t)=0$en el estado estacionario es si su sistema es un integrador, con

$$G(s)=\frac{1}{s}.$$

¿O es esta la razón por la que ocurre el sobreimpulso?

Como ha mencionado, ya que tiene los sobreimpulsos y los subimpulsos, tendrá que$e(t)$va de positivo a negativo y así sucesivamente. Cuando$e(t)>0$,$u(t)$va en aumento, y para$e(t)<0$,$u(t)$disminuye

Así que usé de nuevo el sistema de ejemplo.

$$G(s) = \frac{1}{s+2}$$

y el mando

$$u(t) = 10\int^t_0(r(z)-y(z))dz$$

lo que resultó en la siguiente respuesta al paso. Fíjate que en todas esas cajas rojas que tenemos$e(t)=0$, y son el punto de inflexión de$u(t)$, pero ninguno de ellos es el estado estacionario (cuando y(t)=r(t) y permanece así en el futuro). Y eso debería señalar que su comentario sobre "[u (t)] todavía está allí y es mayor que 0, mientras que la acción P y la acción D son cero y ya no tienen efecto". solo es correcto en el estado estacionario, porque en la mayoría de los puntos donde$e(t)=0$la acción P será cero, pero no la derivada.

¿Es que el error se vuelve más pequeño una vez que e(T)=r(T)−y(T)<0 y la integral se vuelve más pequeña?

Primero, sería mejor decir que "la integral se acerca al control de estado estacionario", ya que no siempre significa hacerse más pequeña. Habrá situaciones en las que el error no disminuirá después del punto de inflexión, especialmente si hay retrasos. Pero para el sistema que usé como ejemplo sí lo hace.