¿Cómo puede la perturbatividad sobrevivir a la renormalización?

Esto también me molestó brevemente al aprender la renormalización. Primero asumes que$\delta\lambda$es pequeño en todas partes, lo que significa que primero hace un corte y toma$\lambda$suficientemente pequeño para que$\lambda\log(\Lambda)$no es grande Esto no es particularmente difícil --- los registros nunca son grandes a menos que el corte sea astronómico.

Luego, reescribe la serie en términos de los acoplamientos físicos, y observa que la serie resultante es independiente de los acoplamientos y las masas desnudos, y luego hace la hipótesis justificada de que esta expansión es válida solo bajo la suposición de que el acoplamiento físico es pequeño. , incluso si sigue adelante y hace que el corte sea tan grande que el acoplamiento desnudo sea grande.

La justificación para esto es el funcionamiento a escala local del acoplamiento. Suponga, para mayor precisión, que hace un modelo de Ising a alguna escala (que es el límite de acoplamiento infinito de la euclidiana).$\phi^4$teoría en la fase de ruptura de simetría casi crítica), si va al punto crítico del modelo de Ising, está en el límite en el que la teoría de longitud de onda larga es descrita por la teoría de perturbaciones.

Si comienza con el modelo Ising y realiza algunas iteraciones de un grupo de renormalización del espacio real girando bloques, algunos pasos de renormalización del espacio real similares a Migdal-Kadanoff usando campos promedio, obtiene un acoplamiento físico para el campo promedio que no es infinito más largo: el campo promedio no está atascado en -1 o 1, sino que se promedia en blobs alrededor de estos valores. Si va a escalas más grandes, eventualmente el acoplamiento de campo promedio efectivo siempre se vuelve pequeño gradualmente a medida que su límite de impulso se vuelve más pequeño. Dado que la teoría de larga distancia es universal, lo que significa que solo necesita ajustar un parámetro, y luego todo lo demás está determinado por la teoría del continuo, debe obtener la misma respuesta para las correlaciones de largo alcance si la teoría microscópica se corta en el Escala de Ising (escala Landau-pole), donde el acoplamiento es infinito, oa una escala mucho mayor en la que el acoplamiento se mantiene pequeño en todo el rango. Dado que la física es independiente del corte, para el régimen en el que el corte produce un pequeño acoplamiento en todas partes, la teoría de la perturbación debería ser fiable.

Uno debería imaginar que el límite está en una escala física, en una longitud real, no cero, y que el acoplamiento simple es solo un factor de 2 diferente al acoplamiento físico. Este suele ser el caso de las teorías físicas de ejecución de registros, como el sector de Higgs en el modelo estándar.

El argumento anterior requiere la ejecución de registros para mantener$\delta\lambda$pequeño en todas partes en el rango desde el impulso cero hasta el límite, y esto no funciona ingenuamente en 3 dimensiones o 2 dimensiones, donde tiene una fuerte ley de potencia, porque el acoplamiento es dimensional. En estas dimensiones inferiores, el proceso de renormalización no es tan compatible con la perturbatividad, porque el acoplamiento en$\phi^4$la teoría va como un poder, es dimensional. En este caso, tiene tres herramientas, reanudación, renormalización del espacio real y$\epsilon$expansión.

En el$\epsilon$expansión haces una afirmación de que el acoplamiento va como una potencia de la escala, y que el coeficiente tiene un punto fijo que está determinado por la estructura de la teoría de ejecución de registros de 4 dimensiones. Esto funciona para predecir exponentes críticos con cierta precisión, pero en la expansión épsilon, la teoría de la perturbación no es tan útil como una herramienta de cálculo para las funciones de correlación, porque el acoplamiento depende de la escala de la ley de potencia. Pero una vez que tenga los exponentes críticos, puede intentar construir la teoría del campo conforme del punto crítico en 3D haciendo trucos de operadores de Kadanoff-Polyakov. Esta es una industria, y en 2d, se entiende esencialmente, con muchos puntos conformes resueltos y estudiados utilizando herramientas matemáticas avanzadas.

Los métodos de reanudación son más difíciles --- implican el análisis de Borel, y esto proporciona muy poca información por hora invertida. Pero esta fue la única herramienta hasta la década de 1970, por lo que toda la literatura antigua dedica la mayor parte del tiempo a esto.

Los métodos de espacio real le permiten eludir todo el problema al definir la renormalización en las teorías de celosía Lagrangianas directamente, sin ninguna expansión del espacio k. Reemplaza las variables de campo con variables de bloque, cambia los acoplamientos de las variables de bloque y busca un punto fijo. Esta idea se debe a Kadanoff, pero el resultado a menudo se llama wilsoniano porque el comité del Nobel fue monumentalmente estúpido como de costumbre.

Pero si estás en 4d, simplemente haz lo que la gente hace en los libros, manteniendo el corte grande pero el corte pequeño en todo momento, y nunca te meterás en problemas.

En las explicaciones habituales de los libros de texto, comienzas con infinitos y los empujas bajo una alfombra de renormalización, y en ninguna parte queda claro por qué la teoría de la perturbación se justifica con tales perturbaciones infinitas.

Sin embargo, este es solo un problema de la generación actual de libros de texto que generalmente intentan recrear parte del proceso histórico de descubrimiento de la renormalización.

Hay formas alternativas de hacer la renormalización que nunca encuentran un infinito, por lo que la teoría de la perturbación es significativa. En el nivel de la mecánica cuántica ordinaria, esto es bastante simple de entender; ver mi documento http://arnold-neumaier.at/ms/ren.pdf

En el libro de Salmhofer http://books.google.at/books?hl=en&lr=&id=nAXncL7_KrQC&oi=fnd&pg=PA1&dq=salmhofer+renormalization&ots=w9TM3hYqi0&sig=1zJAQirvfNmmoe4qAxN7mtBK9Hw se proporciona un tratamiento sólido del nivel del campo cuántico . Pero esto ya es mucho más técnico.

La perturbación no es sólo${\cal L}_{CT}$, pero$-{\lambda\over 4!}\phi^4 + {\cal L}_{CT}$. El primer término también da contribuciones infinitas y los contratérminos se agregan precisamente con el propósito de hacer que la diferencia sea finita. el primer termino$\propto \phi^4$da infinitas correcciones no porque el físico$\lambda$es infinito, pero debido a que tal "interacción" da infinitas correcciones a las constantes fundamentales y sin restarlas los resultados de los cálculos son inútiles.