¿Cómo puede el radio de Schwarzschild del universo ser de 13.700 millones de años luz?

En primer lugar, debemos tener en cuenta que el universo como un todo no está descrito por la métrica de Schwarzschild, por lo que el radio del universo de Schwarzschild es un concepto sin sentido. Sin embargo, si toma la masa del universo observable, podría preguntarse cuál es el radio de Schwarzschild de un agujero negro de esta masa.

para una masa$M$el radio de Schwarzschild es:

$$r_s = \frac{2GM}{c^2} \tag{1}$$

Si el radio del universo observable es$R$y la densidad es$\rho$, entonces la masa es:

$$M = \tfrac{4}{3}\pi R^3 \rho$$

y podemos sustituir en la ecuación (1) para obtener:

$$r_s = \frac{8G}{3c^2} \pi R^3 \rho \tag{2}$$

Ahora creemos que la densidad del universo es la densidad crítica, y de la métrica FLRW con un poco de tirón podemos obtener un valor para la densidad crítica:

$$\rho_c = \frac{3H^2}{8\pi G}$$

Y podemos sustituir$\rho$en la ecuación (2) para obtener:

$$r_s = \frac{H^2}{c^2} R^3 \tag{3}$$

Ahora, la ley de Hubble dice que la velocidad de un objeto distante está relacionada con su distancia$r$por:

$$v \approx Hr$$

y desde el borde del universo,$r_e$, es donde la velocidad de recesión es$c$obtenemos:

$$r_e \approx \frac{c}{H}$$

y sustituyendo esto en la ecuación (3) da;

$$r_s = \frac{1}{r_e^2} R^3 \tag{4}$$

Si$r_e = R$entonces nos quedaríamos con$r_s = R$y habríamos demostrado que el radio de Schwarzschild de la masa del universo observable es igual a su radio. Lamentablemente no funciona del todo. La dimensión$R$es el tamaño actual del universo observable, que es de alrededor de 46,6 mil millones de años luz, mientras que el tamaño utilizado en la ley de Hubble,$r_e$, es el tamaño aparente actual de 13.700 millones de años luz.

Si tomo la ecuación (3) y pongo$R$= 46,6 mil millones de años luz y$H$= 68 km/seg/megaParsec obtengo$r_s$ser alrededor de 500 mil millones de años luz o mucho más grande que el tamaño del universo observable.