¿Cómo probar la velocidad constante de la luz usando la transformación de Lorentz?

Question

¿Cómo probar la velocidad constante de la luz usando la transformación de Lorentz?

Física
Simetría-lorentz
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Relatividad-especial

Ryder Rude

Leí el ejemplo del reloj de luz en mi libro que demostró la fórmula de dilatación del tiempo al suponer que la velocidad de la luz es constante para todos los observadores. Pero tengo problemas para entenderlo al revés. La transformación de Lorentz es solo una corrección de la mecánica newtoniana para dar cuenta de la velocidad constante de la luz para todos los observadores, ¿verdad? Tengo problemas para entender cómo la aplicación de esta corrección preserva la velocidad de la luz para todos los observadores.

¿Podemos comenzar asumiendo que las fórmulas de transformación de Lorentz son verdaderas y luego demostrar que dos observadores $A$ $A$ $UN$ y $B$ $B$ $si$ verá un pulso ligero moviéndose a la misma velocidad $c$ $c$ $C$ independientemente de su velocidad relativa uno con respecto al otro?

Alfred Centauri

La fórmula de adición de velocidad relativista , derivable de la transformación de Lorentz, es inequívoca; un objeto con velocidad

c

c

C

en un marco de referencia inercial (IFR) tiene velocidad

c

c

C

en todos los IFR.

Jim

Las transformaciones de Lorentz se derivaron de la premisa de que la velocidad de la luz es constante. Luego puede asumir que las transformaciones son verdaderas y mostrar que la velocidad de la luz es constante a partir de eso. Funciona para encontrar constante

c

c

C

porque asumimos eso para hacer las transformaciones. Es como si te doy la ecuación

x y = 6

x y = 6

x y = 6

x y = 6

X y = 6 6

y decirte que medimos

x = 2

x = 2

X = 2

asi que, por lo tanto

y = 3

y = 3

y = 3

y = 3

y = 3

. Si preguntas "¿podemos probar

x = 2

x = 2

X = 2

asumiendo primero

y = 3

y = 3

y = 3

y = 3

y = 3

"Sí, pero eso es trivial. Solo tenemos

y = 3

y = 3

y = 3

y = 3

y = 3

porque usamos

x = 2

x = 2

X = 2

. Si no confiamos

x = 2

x = 2

X = 2

entonces por qué estamos empezando con

y = 3

y = 3

y = 3

y = 3

y = 3

? Por qué no

y = 4

y = 4

y = 4

y = 4

y = 4 4

o

y = 10.568

y = 10.568

y = 10.568

y = 10.568

y = 10,568

?

Sean

Usted dice, "la transformación de Lorentz es solo una corrección de la mecánica newtoniana". Si comprende exactamente qué mecánica representan realmente las ecuaciones de transformación de Lorentz, se hace evidente por qué la medición de la velocidad de la luz por parte de cualquier observador siempre produce el mismo resultado.

Respuestas (5)

¿Cómo probar la velocidad constante de la luz usando la transformación de Lorentz?

La fórmula de adición de velocidad relativista , derivable de la transformación de Lorentz, es inequívoca; un objeto con velocidad $c$ $c$ $C$ en un marco de referencia inercial (IFR) tiene velocidad $c$ $c$ $C$ en todos los IFR.
Las transformaciones de Lorentz se derivaron de la premisa de que la velocidad de la luz es constante. Luego puede asumir que las transformaciones son verdaderas y mostrar que la velocidad de la luz es constante a partir de eso. Funciona para encontrar constante $c$ $c$ $C$ porque asumimos eso para hacer las transformaciones. Es como si te doy la ecuación $x y = 6$ $x y = 6$ $x y = 6$ $x y = 6$ $X y = 6 6$ y decirte que medimos $x = 2$ $x = 2$ $X = 2$ asi que, por lo tanto $y = 3$ $y = 3$ $y = 3$ $y = 3$ $y = 3$ . Si preguntas "¿podemos probar $x = 2$ $x = 2$ $X = 2$ asumiendo primero $y = 3$ $y = 3$ $y = 3$ $y = 3$ $y = 3$ "Sí, pero eso es trivial. Solo tenemos $y = 3$ $y = 3$ $y = 3$ $y = 3$ $y = 3$ porque usamos $x = 2$ $x = 2$ $X = 2$ . Si no confiamos $x = 2$ $x = 2$ $X = 2$ entonces por qué estamos empezando con $y = 3$ $y = 3$ $y = 3$ $y = 3$ $y = 3$ ? Por qué no $y = 4$ $y = 4$ $y = 4$ $y = 4$ $y = 4 4$ o $y = 10.568$ $y = 10.568$ $y = 10.568$ $y = 10.568$ $y = 10,568$ ?
Usted dice, "la transformación de Lorentz es solo una corrección de la mecánica newtoniana". Si comprende exactamente qué mecánica representan realmente las ecuaciones de transformación de Lorentz, se hace evidente por qué la medición de la velocidad de la luz por parte de cualquier observador siempre produce el mismo resultado.

Bill N · Answer 1

¿Cómo se "prueba" que 5-3 = 2? Realice la operación "comprobar su trabajo": el resultado final obtenido con la operación inversa lo lleva al punto de partida: 2 + 3 = 5. $✓$ $✓$ $✓$

El mismo ejercicio se realiza con la transformación de Lorentz como herramienta pedagógica. Si la constancia de la velocidad de la luz para todos los observadores conduce a la transformación de Lorentz, entonces la transformación de Lorentz en un objeto de velocidad de la luz debería producir una velocidad constante. Y lo hace No prueba que la velocidad de la luz sea constante. Simplemente muestra que la transformación es consistente con el axioma inicial.

Por cierto, "verificar su trabajo" es una parte importante de la resolución de problemas, ya sea analizando el movimiento de proyectiles o modelando la expansión cosmológica: ¿son mis soluciones consistentes con mis condiciones iniciales?

JG · Answer 2

De $d s^{2} = c^{2} d t^{2} - d x^{2}$ $d s^{2} = c^{2} d t^{2} - d x^{2}$ $d s^{2} = c^{2} d t^{2} - d x^{2}$ $d s^{2} = c^{2} d t^{2} - d x^{2}$ $d s^{2} = c^{2} d t^{2} - d x^{2}$ $d s^{2} = c^{2} d t^{2} - d x^{2}$ $d s^{2} = c^{2} d t^{2} - d x^{2}$ $d s^{2} = c^{2} d t^{2} - d x^{2}$ $d s^{2} = c^{2} d t^{2} - d x^{2}$ $d s^{2} = c^{2} d t^{2} - d x^{2}$ $d s^{2} = c^{2} d t^{2} - d x^{2}$ $d s^{2} = c^{2} d t^{2} - d x^{2}$ $d s^{2} = c^{2} d t^{2} - d x^{2}$ $d s^{2} = c^{2} d t^{2} - d x^{2}$ $d s^{2} = c^{2} d t^{2} - d x^{2}$ $d s^{2} = c^{2} d t^{2} - d x^{2}$ $d s^{2} = c^{2} d t^{2} - d x^{2}$ $d s^{2} = c^{2} d t^{2} - d x^{2}$ $d s^{2} = c^{2} d t^{2} - d x^{2}$ $d s^{2} = c^{2} d t^{2} - d x^{2}$ $d s^{2} = c^{2} d t^{2} - d x^{2}$ $d s^{2} = c^{2} d t^{2} - d x^{2}$ $re s^{2} = C^{2} re t^{2} - re X^{2}$ , vemos que el viaje a la velocidad de la luz es equivalente a $d s^{2} = 0$ $d s^{2} = 0$ $d s^{2} = 0$ $d s^{2} = 0$ $d s^{2} = 0$ $d s^{2} = 0$ $d s^{2} = 0$ $d s^{2} = 0$ $re s^{2} = 0 0$ . Pero $d s^{2} = η_{μ ν} x^{μ} x^{ν}$ $d s^{2} = η_{μ ν} x^{μ} x^{ν}$ $d s^{2} = η_{μ ν} x^{μ} x^{ν}$ $d s^{2} = η_{μ ν} x^{μ} x^{ν}$ $d s^{2} = η_{μ ν} x^{μ} x^{ν}$ $d s^{2} = η_{μ ν} x^{μ} x^{ν}$ $d s^{2} = η_{μ ν} x^{μ} x^{ν}$ $d s^{2} = η_{μ ν} x^{μ} x^{ν}$ $d s^{2} = η_{μ ν} x^{μ} x^{ν}$ $d s^{2} = η_{μ ν} x^{μ} x^{ν}$ $d s^{2} = η_{μ ν} x^{μ} x^{ν}$ $d s^{2} = η_{μ ν} x^{μ} x^{ν}$ $d s^{2} = η_{μ ν} x^{μ} x^{ν}$ $d s^{2} = η_{μ ν} x^{μ} x^{ν}$ $d s^{2} = η_{μ ν} x^{μ} x^{ν}$ $d s^{2} = η_{μ ν} x^{μ} x^{ν}$ $d s^{2} = η_{μ ν} x^{μ} x^{ν}$ $d s^{2} = η_{μ ν} x^{μ} x^{ν}$ $re s^{2} = η_{μ ν} X^{μ} X^{ν}$ es manifiestamente invariante de Lorentz, así que si $d s^{2} = 0$ $d s^{2} = 0$ $d s^{2} = 0$ $d s^{2} = 0$ $d s^{2} = 0$ $d s^{2} = 0$ $d s^{2} = 0$ $d s^{2} = 0$ $re s^{2} = 0 0$ se mantiene en algún marco de referencia que también lo hace en otros obtenidos por transformaciones arbitrarias de Lorentz.

ssj3892414 · Answer 3

En resumen si. Puedes intentar resolverlo tú mismo. Tome 2 observa A y B, moviéndose a velocidad v wrt entre sí. A ve un pulso de luz, viajando como x = ct (lo que significa que la velocidad de la luz como la ve A es dx / dt = c). Ahora usa la transformación de Lorentz para encontrar las coordenadas del pulso como lo ve B. Verías que vuelve a ser c.

robphy · Answer 4

Un método esclarecedor (pero posiblemente avanzado) para demostrar la constancia de la velocidad de la luz de la transformación de impulso de Lorentz es encontrar los vectores propios del impulso de Lorentz. Dos de los vectores propios están a lo largo del cono de luz. Los valores propios correspondientes son iguales al factor doppler y su recíproco. (Estos vectores propios son coplanares con las 4 velocidades de los observadores en movimiento relativo).

Esto se puede comparar y contrastar con los vectores propios y los valores propios de la transformación galileana.

En ambas transformaciones, no hay vectores propios temporales ... es decir, no hay observadores preferidos.

Ahora, para algunos detalles:

Dado $M = (\begin{matrix} γ & β γ \\ β γ & γ \end{matrix})$ $M = (\begin{matrix} γ & β γ \\ β γ & γ \end{matrix})$ $M = (\begin{matrix} γ & β γ \\ β γ & γ \end{matrix})$ $M = (\begin{matrix} γ & β γ \\ β γ & γ \end{matrix})$ $M = (\begin{matrix} γ & β γ \\ β γ & γ \end{matrix})$ $M = (\begin{matrix} γ & β γ \\ β γ & γ \end{matrix})$ $M = (\begin{matrix} γ & β γ \\ β γ & γ \end{matrix})$ $M = (\begin{matrix} γ & β γ \\ β γ & γ \end{matrix})$ $M = (\begin{matrix} γ & β γ \\ β γ & γ \end{matrix})$ $M = (\begin{matrix} γ & β γ \\ β γ & γ \end{matrix})$ $M = (\begin{matrix} γ & β γ \\ β γ & γ \end{matrix})$ $M = (\begin{matrix} γ & β γ \\ β γ & γ \end{matrix})$ $M = (\begin{matrix} γ & β γ \\ β γ & γ \end{matrix})$ $M = (\begin{matrix} γ & β γ \\ β γ & γ \end{matrix})$ $M = (\begin{matrix} γ & β γ \\ β γ & γ \end{matrix})$ $M = (\begin{matrix} γ & β γ \\ β γ & γ \end{matrix})$ $METRO = (\begin{matrix} γ & β γ \\ β γ & γ \end{matrix})$ , configuramos el problema del valor propio:

0 0 = det (METRO - k yo) = det (\begin{matrix} γ - k & β γ \\ β γ & γ - k \end{matrix}) = (γ - k)^{2} - (β γ)^{2} .

Resolviendo esta ecuación característica para

k

k

k

, encontramos

k - γ = \pm β γ

k - γ = \pm β γ

k - γ = \pm β γ

k - γ = \pm β γ

k - γ = \pm β γ

k - γ = \pm β γ

k - γ = \pm β γ

, que se puede escribir como

k = γ (1 \pm β) = \sqrt{\frac{1 \pm β}{1 \mp β}}

k = γ (1 \pm β) = \sqrt{\frac{1 \pm β}{1 \mp β}}

k = γ (1 \pm β) = \sqrt{\frac{1 \pm β}{1 \mp β}}

k = γ (1 \pm β) = \sqrt{\frac{1 \pm β}{1 \mp β}}

k = γ (1 \pm β) = \sqrt{\frac{1 \pm β}{1 \mp β}}

k = γ (1 \pm β) = \sqrt{\frac{1 \pm β}{1 \mp β}}

k = γ (1 \pm β) = \sqrt{\frac{1 \pm β}{1 \mp β}}

k = γ (1 \pm β) = \sqrt{\frac{1 \pm β}{1 \mp β}}

k = γ (1 \pm β) = \sqrt{\frac{1 \pm β}{1 \mp β}}

k = γ (1 \pm β) = \sqrt{\frac{1 \pm β}{1 \mp β}}

k = γ (1 \pm β) = \sqrt{\frac{1 \pm β}{1 \mp β}}

k = γ (1 \pm β) = \sqrt{\frac{1 \pm β}{1 \mp β}}

k = γ (1 \pm β) = \sqrt{\frac{1 \pm β}{1 \mp β}}

k = γ (1 \pm β) = \sqrt{\frac{1 \pm β}{1 \mp β}}

k = γ (1 \pm β) = \sqrt{\frac{1 \pm β}{1 \mp β}}

k = γ (1 \pm β) = \sqrt{\frac{1 \pm β}{1 \mp β}}

k = γ (1 \pm β) = \sqrt{\frac{1 \pm β}{1 \mp β}}

, que son los factores Doppler.

El vector propio correspondiente a $k = γ (1 + β)$ $k = γ (1 + β)$ $k = γ (1 + β)$ $k = γ (1 + β)$ $k = γ (1 + β)$ $k = γ (1 + β)$ $k = γ (1 + β)$ se obtiene por sustitución:

(\begin{matrix} 0 0 \\ 0 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} γ - (γ (1 + β)) & β γ \\ β γ & γ - (γ (1 + β)) \end{matrix}) (\begin{matrix} w_{t} \\ w_{X} \end{matrix}) = (\begin{matrix} - β γ & β γ \\ β γ & - β γ \end{matrix}) (\begin{matrix} w_{t} \\ w_{X} \end{matrix}) = (\begin{matrix} (- β γ) w_{t} + (β γ) w_{X} \\ (β γ) w_{t} + (- β γ) w_{X} \end{matrix}) .

Esto se cumple con los vectores de la forma $w_{x} = w_{t}$ $w_{x} = w_{t}$ $w_{x} = w_{t}$ $w_{x} = w_{t}$ $w_{x} = w_{t}$ $w_{x} = w_{t}$ $w_{x} = w_{t}$ $w_{x} = w_{t}$ $w_{X} = w_{t}$ –Esto es, a lo largo de la dirección ligera hacia el futuro. Por lo tanto, bajo una Transformación de Lorentz, la velocidad de la señal luminosa permanece sin cambios, pero el componente futuro hacia adelante de un vector se estira por un factor de $k$ $k$ $k$ . Del mismo modo, el componente futuro hacia atrás se reduce por un factor de $k$ $k$ $k$ . (Esta es la base del cálculo k Bondi [juego de palabras previsto] y los métodos que utilizan coordenadas de cono de luz).

Sí, este es realmente un método muy divertido. Tendré que echar otro vistazo al cálculo de Bondi con esta idea de vector propio en mente: nunca ha tenido mucho sentido para mí como método de exposición (no es que lo haya examinado TAN duro), aunque debo decir que probablemente sea difícil juzgar un método pedagógico cuando uno ya tiene los conceptos razonablemente bien ordenados para uno mismo.

Función propia · Answer 5

Podríamos usar la ecuación de adición de velocidad relativista, que mostraría que la velocidad del pulso de luz es independiente del movimiento relativo entre los dos observadores.

EDITAR: adjunto es una breve prueba del problema. Deje que un observador en el cuadro S vea un objeto en un cuadro de referencia moviéndose a la velocidad V wrt S emite un fotón que viaja a c. Entonces velocidad relativa del fotón wrtS, U ':

$U^{'} = \frac{c + V}{1 + \frac{c V}{c^{2}}} = \frac{U + c}{1 + \frac{U}{c}} = c (\frac{U + c}{U + c}) = c$ $U^{'} = \frac{c + V}{1 + \frac{c V}{c^{2}}} = \frac{U + c}{1 + \frac{U}{c}} = c (\frac{U + c}{U + c}) = c$ $U^{'} = \frac{c + V}{1 + \frac{c V}{c^{2}}} = \frac{U + c}{1 + \frac{U}{c}} = c (\frac{U + c}{U + c}) = c$ $U^{'} = \frac{c + V}{1 + \frac{c V}{c^{2}}} = \frac{U + c}{1 + \frac{U}{c}} = c (\frac{U + c}{U + c}) = c$ $U^{'} = \frac{c + V}{1 + \frac{c V}{c^{2}}} = \frac{U + c}{1 + \frac{U}{c}} = c (\frac{U + c}{U + c}) = c$ $U^{'} = \frac{c + V}{1 + \frac{c V}{c^{2}}} = \frac{U + c}{1 + \frac{U}{c}} = c (\frac{U + c}{U + c}) = c$ $U^{'} = \frac{c + V}{1 + \frac{c V}{c^{2}}} = \frac{U + c}{1 + \frac{U}{c}} = c (\frac{U + c}{U + c}) = c$ $U^{'} = \frac{c + V}{1 + \frac{c V}{c^{2}}} = \frac{U + c}{1 + \frac{U}{c}} = c (\frac{U + c}{U + c}) = c$ $U^{'} = \frac{c + V}{1 + \frac{c V}{c^{2}}} = \frac{U + c}{1 + \frac{U}{c}} = c (\frac{U + c}{U + c}) = c$ $U^{'} = \frac{c + V}{1 + \frac{c V}{c^{2}}} = \frac{U + c}{1 + \frac{U}{c}} = c (\frac{U + c}{U + c}) = c$ $U^{'} = \frac{c + V}{1 + \frac{c V}{c^{2}}} = \frac{U + c}{1 + \frac{U}{c}} = c (\frac{U + c}{U + c}) = c$ $U^{'} = \frac{c + V}{1 + \frac{c V}{c^{2}}} = \frac{U + c}{1 + \frac{U}{c}} = c (\frac{U + c}{U + c}) = c$ $U^{'} = \frac{c + V}{1 + \frac{c V}{c^{2}}} = \frac{U + c}{1 + \frac{U}{c}} = c (\frac{U + c}{U + c}) = c$ $U^{'} = \frac{c + V}{1 + \frac{c V}{c^{2}}} = \frac{U + c}{1 + \frac{U}{c}} = c (\frac{U + c}{U + c}) = c$ $U^{'} = \frac{c + V}{1 + \frac{c V}{c^{2}}} = \frac{U + c}{1 + \frac{U}{c}} = c (\frac{U + c}{U + c}) = c$ $U^{'} = \frac{c + V}{1 + \frac{c V}{c^{2}}} = \frac{U + c}{1 + \frac{U}{c}} = c (\frac{U + c}{U + c}) = c$ $U^{'} = \frac{c + V}{1 + \frac{c V}{c^{2}}} = \frac{U + c}{1 + \frac{U}{c}} = c (\frac{U + c}{U + c}) = c$ $U^{'} = \frac{c + V}{1 + \frac{c V}{c^{2}}} = \frac{U + c}{1 + \frac{U}{c}} = c (\frac{U + c}{U + c}) = c$ $U^{'} = \frac{c + V}{1 + \frac{c V}{c^{2}}} = \frac{U + c}{1 + \frac{U}{c}} = c (\frac{U + c}{U + c}) = c$ $U^{'} = \frac{c + V}{1 + \frac{c V}{c^{2}}} = \frac{U + c}{1 + \frac{U}{c}} = c (\frac{U + c}{U + c}) = c$ $U^{'} = \frac{c + V}{1 + \frac{c V}{c^{2}}} = \frac{U + c}{1 + \frac{U}{c}} = c (\frac{U + c}{U + c}) = c$ $U^{'} = \frac{c + V}{1 + \frac{c V}{c^{2}}} = \frac{U + c}{1 + \frac{U}{c}} = c (\frac{U + c}{U + c}) = c$ $U^{'} = \frac{c + V}{1 + \frac{c V}{c^{2}}} = \frac{U + c}{1 + \frac{U}{c}} = c (\frac{U + c}{U + c}) = c$ $U^{'} = \frac{c + V}{1 + \frac{c V}{c^{2}}} = \frac{U + c}{1 + \frac{U}{c}} = c (\frac{U + c}{U + c}) = c$ $U^{'} = \frac{c + V}{1 + \frac{c V}{c^{2}}} = \frac{U + c}{1 + \frac{U}{c}} = c (\frac{U + c}{U + c}) = c$ $U^{'} = \frac{c + V}{1 + \frac{c V}{c^{2}}} = \frac{U + c}{1 + \frac{U}{c}} = c (\frac{U + c}{U + c}) = c$ $U^{'} = \frac{c + V}{1 + \frac{c V}{c^{2}}} = \frac{U + c}{1 + \frac{U}{c}} = c (\frac{U + c}{U + c}) = c$ $U^{'} = \frac{c + V}{1 + \frac{c V}{c^{2}}} = \frac{U + c}{1 + \frac{U}{c}} = c (\frac{U + c}{U + c}) = c$ $U^{'} = \frac{c + V}{1 + \frac{c V}{c^{2}}} = \frac{U + c}{1 + \frac{U}{c}} = c (\frac{U + c}{U + c}) = c$ $U^{'} = \frac{c + V}{1 + \frac{c V}{c^{2}}} = \frac{U + c}{1 + \frac{U}{c}} = c (\frac{U + c}{U + c}) = c$ $U^{'} = \frac{c + V}{1 + \frac{c V}{c^{2}}} = \frac{U + c}{1 + \frac{U}{c}} = c (\frac{U + c}{U + c}) = c$ $U^{'} = \frac{c + V}{1 + \frac{c V}{c^{2}}} = \frac{U + c}{1 + \frac{U}{c}} = c (\frac{U + c}{U + c}) = c$ $U^{'} = \frac{C + V}{1 + \frac{C V}{C^{2}}} = \frac{U + C}{1 + \frac{U}{C}} = C (\frac{U + C}{U + C}) = C$

Puede mejorar esta respuesta elaborando y mostrando la prueba
Utilice MathJax para matemáticas y entrada de prueba para texto, y puede mezclar los dos fácilmente. Poner una nota garabateada como una imagen no se considera una buena manera de responder preguntas aquí.

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