Revisión de la idea de la que estamos hablando

Así que repasemos el mecanismo por el cual funciona esta idea. (En mi opinión, tiene poco sentido criticar la idea si no tenemos una comprensión detallada de la misma). La idea es que tienes corrientes en los cables y esos cables (los llamaré cable-1 y el cable 2) consisten en nucleones y electrones. Todos los núcleos están en reposo entre sí. En el marco de descanso de estos protones en el cable 1, tienes electrones con una densidad de carga lineal - λ 1 moviéndose con velocidad v 1 en relación con estos protones fijos, que deben tener la misma densidad de carga + λ 1 para mantener el cable eléctricamente neutro en este marco de descanso. Ahora, en este marco de referencia, la forma preferida de calcular la fuerza en el cable 2 es con el si ⃗ campo, como el mi ⃗ campo debido a cable-1 es cero. Vemos que no hay fuerza del cable-1 sobre los protones del cable-2, pero sí hay una fuerza sobre los electrones del cable-2. Entonces eso es lo que vamos a analizar.

Ahora impulsamos por v 2 para entrar en el marco de descanso de los electrones en el cable 2. Si los electrones en el cable 1 se movieran con, por ejemplo, la misma velocidad v 1 = v 2 , la distancia entre esos electrones del cable 1 se expande por un factor de γ mientras que la distancia entre protones se contrae por un factor de 1 / γ , conduciendo a ambos un mi ⃗ campo y un si ⃗ campo. Sin embargo, en este marco de referencia, los electrones en el cable 2 no se mueven y, por lo tanto, su fuerza de Lorentz no va a sentir la si ⃗ campo del cable 1, solo el mi ⃗ campo, debido a la densidad de carga modificada ( γ - 1 / γ )   ρ . (Y esa propiedad es una consecuencia fundamental incluso cuando u ≠ v : Si entro en el marco de descanso de una partícula, no siente la fuerza magnética de Lorentz.)

Ahora, si estuviéramos mirando una longitud de cable-2 en el marco de descanso de protones, teniendo longitud re ℓ en ese marco, entonces la carga a lo largo de esa longitud - λ 2   re ℓ se transforma a la misma carga en diferentes momentos en el marco de comoving, y el cambio de simultaneidad no nos importa porque el mi ⃗ El campo es constante en el tiempo. Por lo tanto, el cambio total en el momento por unidad de tiempo adecuado en estos cargos está dado por el mi ⃗ campo ( γ - 1 / γ )   λ 1   r ^   / ( 2 π ϵ 0 0   L ) veces la carga - λ 2   re ℓ ; pero desde r ^ es ortogonal al movimiento cuando nos transformamos, simplemente tenemos que tener en cuenta la dilatación del tiempo, re t = γ   re τ y, por lo tanto, dividir por un factor de γ . El resultado es una fuerza. - ( 1 - γ - 2 )   λ 1   λ 2   re ℓ   r ^ / ( 2 π ϵ 0 0   L ) como transformado de nuevo en el marco de referencia de los protones.

Y, como estoy seguro de que sabes, esto coincide completamente porque ( 1 - γ - 2 ) = v 2 / c 2 y C 2 ϵ 0 0 = 1 / μ 0 0 , flexible μ 0 0   yo 1   yo 2   re ℓ / ( 2 π   L ) tal como funciona el cálculo magnético.

Entonces, este es el mecanismo por el cual la "contracción de la longitud" en el cable-1 conduce a la fuerza sobre el cable-2: no es estrictamente solo la "contracción de la longitud" en el trabajo aquí; la distancia entre los electrones, por ejemplo, se expande y hay un factor de dilatación del tiempo: pero la idea central es que siempre podemos aumentar al marco de referencia de una partícula, y luego el campo magnético en esa partícula en ese marco no genera fuerza de Lorentz, por lo que Todos los efectos magnéticos se han introducido en el campo eléctrico, a menudo con varios efectos de contracción de longitud que generan el nuevo campo eléctrico.

Tu pregunta real

¿Cómo puede la contracción de la longitud producir un movimiento circular de electrones en un campo magnético y el movimiento circular opuesto para un positrón?

Usted (¡con suerte!) Se pateará a sí mismo. Es solo porque la fuerza eléctrica de Lorentz es q mi ⃗ y por lo tanto es opuesto si la carga de la partícula es opuesta. Si reemplaza esos electrones y nucleones en el cable 2 con positrones y antinucleones, entonces la fuerza sobre los antiprotones es fácilmente cero; luego avanzamos hacia el marco de referencia de los positrones, y vemos exactamente el mismo campo eléctrico debido al cable 1, pero la fuerza de Lorentz en los positrones apunta en la dirección opuesta (repulsiva) porque las cargas similares se repelen y las cargas opuestas se atraen.

En general, tiene que ser así: cada vez que realice este "impulso en su marco para hacer que el si ⃗ campo no tiene fuerza de Lorentz "truco en cualquier electrón, usted encuentra algunos mi ⃗ campo que proporciona la fuerza equivalente; si reemplaza el electrón con un positrón con la misma velocidad, necesariamente los campos calculados a partir de estas "corrientes contraídas en longitud" son iguales, pero la fuerza es opuesta, porque el positrón tiene una carga opuesta al electrón.

Implicaciones de los solenoides.

Has hecho esta pregunta en un contexto mucho más amplio, que involucra una partícula en espiral en un campo magnético. Bueno, si queremos un campo magnético constante, entonces la mejor manera de obtenerlo es el interior de un solenoide. Dibujaremos esto en dos dimensiones como un círculo en sentido antihorario de corriente (positiva) con campo magnético apuntando "hacia arriba" a través del papel, constante dentro del círculo. Anotaremos instrucciones en el papel con una rosa de los vientos: su cargo q está viajando "Norte" en el papel.

Impulsamos su marco de referencia. Una vez más, los protones se contraen uniformemente en longitud en las direcciones Este y Oeste, aumentando su densidad. Los electrones en el Este viajan hacia el Sur (debido a que la densidad de corriente en sentido antihorario es positiva, los electrones van en sentido horario) y, por lo tanto, se contraen dos veces, aumentando su densidad aún más de lo que aumentó la densidad de los protones. El solenoide tiene una carga negativa neta. Los electrones en el oeste viajan hacia el norte, en la dirección del movimiento, y por lo tanto experimentan expansión de longitud y disminuyen su densidad, por lo que la parte occidental del solenoide tiene una carga positiva neta. Esto significa que el mi ⃗ el campo en esta configuración apunta de oeste a este, y una carga de prueba de positrones se desviará junto con él, hacia el este, mientras que una carga de prueba de electrones se desviará contra mi ⃗ hacia el oeste. La simetría rotacional garantiza que después de un tiempo adecuado re τ , la situación que ve la partícula va a ser exactamente la misma: si volvemos a etiquetar su dirección actual como "Norte", entonces todavía ve una carga neta positiva en el "Oeste" y una carga neta negativa en el "Este" y se desvía de manera similar, por lo que su movimiento neto debe ser circular si descuidamos los complicados efectos de radiación que resultan de acelerar la partícula en su marco de descanso.

Entonces, el positrón orbita en contra de la corriente (positiva) en el solenoide, y el electrón orbita junto con él, de la manera que esperarías si trabajas el campo magnético y la fuerza de Lorentz debido a él.

Bonita foto

Editar: debido a que expresó algunas dudas de que hay una acumulación de carga debido a la helicidad de los electrones solenoides, en realidad escribí una hoja de Excel rápida que resolvió r 0 0 = 0 hiperplano del impulso de Lorentz de las hélices [ c t , r cos ( ω   t + ϕ ) , r pecado ( ω   t + ϕ ) , μ   s + ν   t ] versus [ c t , r cos ( ϕ ) , r pecado ( ϕ ) , μ   s ] . Como puede ver, las cargas verdes (núcleos positivos) aparecen a la derecha de las cargas azules (electrones) para la mayoría de las curvas, lo que indica una mayor densidad de carga a la izquierda frente a la derecha. Entonces sí, esta es una predicción real y directa de la transformación de Lorentz y no, no se puede sacudir. Además, estoy afirmando que este es el efecto que genera la fuerza en el marco de referencia que se mueve conjuntamente con la partícula: la partícula no puede sentir la parte magnética del tensor de fuerza electromagnética en ese marco de referencia y en su lugar siente una fuerza "lateral" puramente debido a la parte eléctrica, que puede analizarse clásicamente como debido a la acumulación de carga en un lado del anillo de corriente.

Si pregunta acerca de los campos magnéticos, leerá artículos aparentemente autoritarios que dicen que el magnetismo es una consecuencia de la contracción de la longitud.

Deberían decir que los campos magnéticos y las fuerzas magnéticas son un elemento único y obligatorio para agregar a los campos y fuerzas eléctricas para que sea relativamente invariable. Lo cual es algo ligeramente diferente de decir.

Esto se enseña ampliamente y se repite en respuestas como esta, que habla sobre la fuerza magnética entre los cables que transportan corriente.

Creo que responden las líneas citadas con lo que dije, no con lo que dijiste.

Estoy seguro de que todos estamos contentos con esta fuerza, que puedes ver descrita en la imagen de la hiperfísica de Rod Nave

No estamos lo suficientemente contentos como para no hacer comentarios y emitir juicios, especialmente si no quieres equivocarte. Pase a la siguiente cita si tiene toda la razón sobre el caso de los cables y lo que está sucediendo y por qué no es importante.

Retrocedamos un poco más y notemos que Maxwell y Lorentz no predicen juntos que dos cables sienten una aceleración en una dirección en particular solo porque tienen corriente que fluye entre ellos. Y eso se deriva del hecho de que Maxwell es una ecuación diferencial parcial (PDE) y, por lo tanto, se ve afectada por las condiciones de contorno. Por lo tanto, primero necesitamos que las condiciones de contorno den ese campo magnético que usted enumeró primero. Excepto, por supuesto, que eso tampoco sucede.

Así que volvamos al principio. Linealidad Puede encontrar un campo eléctrico debido a alguna carga, corriente, cambio de carga y cambio de corriente. Las ecuaciones de Jefimenko están bien. Como cualquier otra solución a las ecuaciones de Maxwell con solo esa fuente. Luego, por linealidad, puede agregar esas soluciones juntas y obtener una solución para Maxwell con ambas fuentes. Luego puede agregar cualquier solución de vacío a Maxwell y obtener otra solución para Maxwell. Y luego podría preocuparse por cumplir con cualquier condición de límite, como el campo cero en un conductor, que es una condición de límite para todo el campo (debido a esta fuente más que debido a esa fuente más la solución de vacío).

Ahora eso significa que el verdadero campo electromagnético se debe a toda la carga, a toda la corriente (ambos cables) y también a la solución de vacío. Y en eso se basará la fuerza (con una posible excepción de una carga que siente una fuerza debido a su propio campo). Y el campo circular que dibujó es solo el campo de uno de los cables. No todo el campo que causa fuerzas.

Entonces, si va a cambiar marcos, debe saber cómo cambian todos los campos, el campo debido a un cable, el campo debido al otro cable y la solución de vacío. Y el primer problema es que Maxwell no le dice ninguno de ellos, solo le dice la suma de los tres y solo cuando proporciona condiciones de contorno. Y Lorentz no va a dar fuerzas hasta que obtengas todo el campo.

Entonces, si desea la fuerza (por unidad de longitud) en el cable, debe encontrar la fuerza en cada parte y promediarla. La fuerza en cada parte es solo la fuerza en cada parte cargada. Y en el marco de esa parte, la única fuerza electromagnética es la fuerza eléctrica. Por lo tanto, elija una parte y elija el marco de inercia global que está instantáneamente como con la carga que se está analizando en este momento que postula que existe una relatividad especial. Un marco realista podría moverse en cualquier dirección porque hay movimiento térmico en las partes, esto produciría radiación a partir de la temperatura finita de las partes cargadas, por lo que daría una respuesta más complicada de lo que buscamos. Pero podemos considerar fácilmente el otro extremo, las cargas positivas en reposo y, en su marco, ver la densidad de carga cero en cualquier lugar.

Ahora el argumento habitual sería que el campo eléctrico debido a la densidad de carga cero en todas partes es cero. Pero hay soluciones de vacío con campos eléctricos, por lo que esto no se da. Además, se supone que debemos considerar los campos reales. Además, incluso de las soluciones de Jefimenko, vemos que los campos eléctricos pueden ser distintos de cero por muchas razones, pero no en una situación estática.

Por lo tanto, podemos elegir un campo eléctrico y magnético para cada cable que sea el que dibujó al principio (cero para el campo eléctrico). Y tenga una solución de vacío que sea cero. Y tiene una densidad de carga cero y una densidad de corriente distinta de cero que sube y baja en cada cable y es cero en cualquier otro lugar.

En ese caso, la corriente podría realizarse mediante una densidad de carga de línea negativa con un movimiento en una dirección y una densidad de carga de línea positiva en reposo. Este es el extremo opuesto como incluir el movimiento térmico.

Ahora la carga de línea positiva no siente fuerza debido al campo eléctrico cero del otro cable. O desde el campo de vacío cero. Ahora podemos incluir el campo del cable en sí mismo o podemos esperar que cualquier fuerza que ejerzan las partes del cable entre sí se active en pares de reacción y, por lo tanto, se cancele cuando sumamos las fuerzas en todas las partes del cable.

Dado que la tercera ley no se aplica solo a los cargos, este último no es obvio (o incluso cierto para el caso de los cargos por movimiento térmico que irradian). La tercera ley es, en electromagnetismo, un equilibrio entre el momento del campo y el momento de la partícula. Y tenemos nuestra primera complicación grave. Son los electrones móviles los que van a sentir la fuerza magnética, y las cargas positivas en el mismo cable se mueven debido a un voltaje Hall. Entonces habrá un campo eléctrico. Lo que significa que hay ambos, por lo que hay un impulso de campo (y para ser sincero, incluso si no hubiera un impulso de campo, puede haber un flujo de impulso de campo al igual que puede haber una densidad de corriente incluso cuando no hay densidad de carga neta) .

Un enfoque es para ferrocarriles todo. Podríamos usar otras fuerzas no electromagnéticas para mantener los cables todavía en general y también para hacer que las cargas que hacen que la corriente fluya en línea recta hacia arriba y hacia abajo. Entonces no hay voltaje de la sala, no hay campo eléctrico y no hay impulso. Pero todavía hay un flujo de impulso distinto de cero, por lo que no hay una tercera ley obvia que le permita ignorar los campos de un solo cable. Pero también podría considerar dos cables con corriente que ya fluye y luego preguntar cómo cambia la fuerza a medida que los acerca mientras mantiene la corriente estable.

Esto permite que un cable se contraiga o expanda o ejerza tensión o tensión sobre sí mismo y reenfoca la atención en fuerzas adicionales debido al otro cable. Esto también aborda cualquier inquietud sobre los efectos transitorios del encendido o apagado de la corriente. Deje la corriente encendida y estable, y acerque los cables tan lentamente como desee.

Así que ahora hemos llegado al punto en que necesitamos considerar las fuerzas debido al campo que dibujaste. Y en el marco de las cargas estacionarias, no hay fuerza. Así que ahora pasemos al marco de las cargas móviles que hacen la corriente. Todavía nos estamos centrando en la fuerza debida al otro cable, pero ahora la contracción de la longitud cambia la densidad de carga lineal de la carga de línea anteriormente estacionaria en comparación con la carga de línea que antes se movía en el otro cable. Se puede imaginar que este desequilibrio de carga produce un campo eléctrico en el nuevo marco.

Sin embargo, esta idea de dividir un campo en tres partes: un campo debido a este cable, un campo debido a ese cable y un campo de vacío; obviamente no es único. Entonces, el hecho de que un campo parezca natural en un cuadro no significa que el campo aparente natural en otro cuadro sea la transformación de ese primer campo.

Normalmente, podríamos descubrir cómo cambian los campos en diferentes cuadros recurriendo a la definición en términos de fuerzas y colocando partículas de prueba con diferentes velocidades en direcciones y magnitudes suficientes para conocer el campo eléctrico y magnético. Pero si nuestro objetivo es descubrir la fuerza magnética, no podemos usarla para descubrir cómo se transforma el campo electromagnético.

Esto es malo, malo, malo. Significa que tenemos algo en un cuadro y no tenemos idea de cómo se ve en otro cuadro. Y eso es porque realmente no teníamos nada.

Entonces, si queremos derivar una fuerza magnetostática en cables estables a partir de la contracción de longitud, tenemos que definir algo en alguna parte. Y una opción es definir una fuerza electrostática para distribuciones de carga estática.

Si hace eso, obtenemos una fuerza de la densidad de carga y luego podemos calcular qué tan fuerte se sostiene el cable para mantenerlo estable. Luego use la transformación regular de fuerzas (de la transformación regular de energía, momento y tiempo) para descubrir la fuerza en el marco original.

Por lo tanto, obtenemos que las leyes de fuerza electrostática más la relatividad (no solo la contracción de la longitud, necesitamos transformar la fuerza de regreso al marco original) más un enfoque en las fuerzas debido a que un cable diferente da el resultado que queríamos. Ahora, como todo está en estática, no podemos mover el cable, tenemos que considerar un montón de universos con diferentes cables en diferentes posiciones. En papel podemos hacer esto. E informe cómo la diferencia de fuerzas se sintió dependiente de qué tan lejos estuvieran los cables.

Si eso es con lo que comenzamos, y todo lo que tenemos, entonces todavía no hemos definido un campo magnético. Entonces ni siquiera podemos decir que hay un campo magnético circulante. En algún momento tienes que definir un campo electromagnético. Y luego todo dependerá de sus definiciones como lo hace cualquier construcción teórica.

Sin embargo, tenga en cuenta las líneas de campo magnético concéntrico alrededor del cable.

¿Las que se deben solo al cable izquierdo, lo que Maxwell solo (sin condiciones límite) no predice?

Sabemos que una partícula cargada, como un electrón, circulará alrededor de estas líneas de campo, según esta descripción, cortesía de la ayuda con la tarea de Chegg.

Sentirá una fuerza ortogonal al campo magnético representado y también ortogonal a la velocidad, pero el movimiento real se verá afectado por todas las fuerzas sobre él, no solo esas fuerzas.

Además, sabemos que un positrón rodeará las líneas del campo magnético en la otra dirección.

Seguro. En el marco de inercia global que se une instantáneamente con el electrón / positrón, hay un campo eléctrico y si ese campo fuera el mismo para el electrón y el positrón, sentirían fuerzas iguales y opuestas (debido a su carga igual y opuesta). Sin embargo, el campo total no es el mismo, ya que las dos cargas diferentes producen campos diferentes por sí mismas y dado que el campo total necesita cumplir con las condiciones límite, como dentro de los cables conductores, los cables tienen que responder al electrón / positrón por lo tanto debido a la reacción de los cables el campo del cable será diferente (piense en la carga de la imagen debido al electrón / positrón). E incluso si los campos externos fueran los mismos, la auto fuerza electromagnética usual (llamada reacción de radiación) requiere el auto campo de todos modos. Lo cual es diferente para los dos cargos. Una vez más, no puede simplemente hablar sobre campos magnéticos o fuerzas que tiene que decir campo debido a esto y fuerza debido a esto, y debido al problema de carga de la imagen, incluso decir que la fuerza debida al cable no es lo suficientemente buena.

Cuando coloca recompensas por estar menos equivocado, las respuestas que obtenga serán realmente muy largas para evitar estar equivocado.

Si la ruta del electrón es una hélice zurda, la ruta del positrón es una hélice derecha. O un círculo, según estas imágenes de un haz de electrones en un campo magnético uniforme.

La explicación de la contracción de longitud para dos cables que se mueven juntos suena bastante plausible. Sin embargo, no parece haber ninguna forma en que la contracción de la longitud en ese cable lineal pueda dar como resultado el movimiento circular opuesto de electrones y positrones.

Sienten fuerzas opuestas porque en su marco comoving ven el mismo campo eléctrico externo pero sienten fuerzas opuestas (debido a su carga opuesta) del mismo campo eléctrico externo. El hecho de que sea circular ocurre porque usa un marco diferente en cada punto, por lo tanto, obtiene diferentes campos eléctricos y, por lo tanto, diferentes fuerzas en cada punto.

Incluso podrías ver toda esta historia desde la versión relativista. Tenga en cuenta que las matrices de Dirac γ 0 0 , γ 1 , γ 2 , y γ 3 , se pueden agregar y escalar por números reales, por lo que son una base vectorial perfectamente fina para el espacio-tiempo. También anticommutan naturalmente y, por lo tanto, sus productos antisimétricos γ 0 0 γ 1 , γ 0 0 γ 2 , γ 0 0 γ 3 , γ 2 γ 3 , γ 3 γ 1 , y γ 1 γ 2 abarcan un espacio de seis dimensiones que, naturalmente, funciona para tensores antisimétricos de rango dos en el espacio-tiempo. Entonces puedes escribir el campo electromagnético como

donde los tres alfa están relacionados con el campo eléctrico en un cuadro que se mueve en el γ 0 0 dirección del espacio-tiempo, y las tres betas están relacionadas con el campo magnético en el mismo marco. Podemos recuperar el campo eléctrico mirando γ 0 0 F y F γ 0 0 y observando que solo el α 1 γ 0 0 γ 1 + α 2 γ 0 0 γ 2 + α 3 γ 0 0 γ 3 parte sobrevive γ 0 0 1 2 ( γ 0 0 F - F γ 0 0 ) y así podemos comenzar con un campo electromagnético unificado y luego usar un vector comoving con el marco y algo de álgebra podemos obtener el campo eléctrico en ese marco.

Y ahora comprenda que cualquier combinación lineal de matrices gamma es tan buena como un vector en el espacio-tiempo. Por lo tanto, podemos elegir cualquier conjunto ortonormal de combinaciones lineales de las matrices gamma y es una base igual de fina. Entonces puedes tomar la unidad tangente u = ν 0 0 γ 0 0 + ν 1 γ 1 + ν 2 γ 2 + ν 3 γ 3 y obtener el campo eléctrico que ve el cuadro que viene. A saber u 1 2 ( u F - F u ) Entonces hay un campo electromagnético, F y cada cuadro tiene una unidad de tangente tu en el espacio-tiempo para partículas en reposo en ese marco, y funciona igual que γ 0 0 y cualesquiera tres direcciones espaciales de unidad mutuamente ortogonales en el espacio-tiempo ortogonal a tu trabajar igual que γ 1 , γ 2 , y γ 3 . Entonces, hay un solo objeto y dividirlo en partes no es diferente a elegir una base ortonormal.

Pero la fuerza debida a una fuerza electromagnética externa cuando una partícula está en reposo es solo la fuerza eléctrica. Cada partícula siente la fuerza eléctrica en el marco comoving donde está en reposo.

Para que puedas tener tu si ⃗ en algún marco, luego obtener F = β 1 γ 2 γ 3 + β 2 γ 3 γ 1 + β 3 γ 1 γ 2 en ese cuadro, que se encuentra perfectamente en cualquier cuadro, es el campo electromagnético invariante. Luego, para cualquier partícula en cualquier momento, encuentra la unidad tangente tu a su línea mundial y luego u 1 2 ( u F - F u ) es el campo eléctrico que se ve en su marco y también lo es la fuerza electromagnética externa que siente en su marco.

Básicamente, cuando tiene un campo electromagnético unificado y no sabe cómo obtener componentes en cualquier marco, la fuerza que siente una partícula desde un campo externo es solo la fuerza eléctrica que siente debido al campo eléctrico en su propio marco ( u 1 2 ( u F - F u ) )

¿Cómo puede la contracción de la longitud producir un movimiento circular de electrones en un campo magnético y el movimiento circular opuesto para un positrón?

La contracción de la longitud por sí sola no da el resultado. Debe averiguar exactamente qué campo está preguntando (por ejemplo, un campo externo, un campo debido a un cable, debido a una corriente en un cable, debido a una carga en el cable, etc.). Luego, cuando encuentre el campo eléctrico en el marco comoving de la carga, puede obtener la fuerza que siente la carga en ese marco. Y luego obtienes la fuerza que siente en cualquier cuadro. Y luego lo conseguirás apuntando en la dirección y magnitud correctas cada vez.

Veamos. Cuando una partícula tiene una línea mundial con tangente γ 0 0 + v 1 γ 1 + v 2 γ 2 + v 3 γ 3 en campo magnético F = β 1 γ 2 γ 3 + β 2 γ 3 γ 1 + β 3 γ 1 γ 2 entonces ve un campo eléctrico en su propio marco de u 1 2 ( u F - F u ) o