¿Son los campos magnéticos simplemente campos eléctricos relativistas modificados?

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En la Figura-02 anterior, un sistema inercial$\:\mathrm S'\:$se traduce con respecto al sistema inercial$\:\mathrm S\:$con velocidad constante

$$\begin{equation} \boldsymbol{\upsilon}=\left(\upsilon_{1},\upsilon_{2},\upsilon_{3}\right)=\left(\upsilon \mathrm n_{1},\upsilon \mathrm n_{2},\upsilon \mathrm n_{3}\right)=\upsilon \mathbf n\,, \qquad \upsilon \in \left(-c,c\right) \tag{01} \end{equation}$$ La transformación de Lorentz es $$\begin{align} \mathbf{x}^{\boldsymbol{\prime}} & = \mathbf{x}+(\gamma-1)(\mathbf{n}\boldsymbol{\cdot} \mathbf{x})\mathbf{n}-\gamma \boldsymbol{\upsilon}t \tag{02a}\\ t^{\boldsymbol{\prime}} & = \gamma\left(t-\dfrac{\boldsymbol{\upsilon}\boldsymbol{\cdot} \mathbf{x}}{c^{2}}\right) \tag{02b} \end{align}$$ en forma diferencial $$\begin{align} \mathrm d\mathbf{x}^{\boldsymbol{\prime}} & = \mathrm d\mathbf{x}+(\gamma-1)(\mathbf{n}\boldsymbol{\cdot} \mathrm d\mathbf{x})\mathbf{n}-\gamma\boldsymbol{\upsilon}\mathrm dt \tag{03a}\\ \mathrm d t^{\boldsymbol{\prime}} & = \gamma\left(\mathrm d t-\dfrac{\boldsymbol{\upsilon}\boldsymbol{\cdot} \mathrm d\mathbf{x}}{c^{2}}\right) \tag{03b} \end{align}$$ y en forma matricial $$\begin{equation} \mathbf{X}^{\boldsymbol{\prime}}= \begin{bmatrix} \mathbf{x}^{\boldsymbol{\prime}}\vphantom{\dfrac{\gamma\boldsymbol{\upsilon}^{\boldsymbol{\top}}}{c}}\\ c t^{\boldsymbol{\prime}}\vphantom{\dfrac{\gamma\boldsymbol{\upsilon}^{\boldsymbol{\top}}}{c}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mathrm I+(\gamma-1)\mathbf{n}\mathbf{n}^{\boldsymbol{\top}} & -\dfrac{\gamma\boldsymbol{\upsilon}}{c} \vphantom{\dfrac{\gamma\boldsymbol{\upsilon}^{\boldsymbol{\top}}}{c}}\\ -\dfrac{\gamma\boldsymbol{\upsilon}^{\boldsymbol{\top}}}{c} & \hphantom{-}\gamma \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{x}\vphantom{\dfrac{\gamma\boldsymbol{\upsilon}^{\boldsymbol{\top}}}{c}}\\ c t\vphantom{\dfrac{\gamma\boldsymbol{\upsilon}^{\boldsymbol{\top}}}{c}} \end{bmatrix} =\mathrm L\mathbf{X} \tag{04} \end{equation}$$ dónde $\:\mathrm L\:$el verdadero simétrico $\:4\times 4\:$matriz $$\begin{equation} \mathrm L \equiv \begin{bmatrix} \mathrm I+(\gamma-1)\mathbf{n}\mathbf{n}^{\boldsymbol{\top}} & -\dfrac{\gamma\boldsymbol{\upsilon}}{c} \vphantom{\dfrac{\gamma\boldsymbol{\upsilon}^{\boldsymbol{\top}}}{c}}\\ -\dfrac{\gamma\boldsymbol{\upsilon}^{\boldsymbol{\top}}}{c} & \hphantom{-}\gamma \end{bmatrix} \tag{05} \end{equation}$$ y $$\begin{equation} \mathbf{n}\mathbf{n}^{\boldsymbol{\top}} = \begin{bmatrix} \mathrm n_{1}\vphantom{\dfrac{}{}}\\ \mathrm n_{2}\vphantom{\dfrac{}{}}\\ \mathrm n_{3}\vphantom{\dfrac{}{}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathrm n_{1} & \mathrm n_{2} & \mathrm n_{3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mathrm n_{1}^{2} & \mathrm n_{1}\mathrm n_{2} & \mathrm n_{1}\mathrm n_{3}\vphantom{\dfrac{}{}}\\ \mathrm n_{2}\mathrm n_{1} & \mathrm n_{2}^{2} & \mathrm n_{2}\mathrm n_{3}\vphantom{\dfrac{}{}}\\ \mathrm n_{3}\mathrm n_{1} & \mathrm n_{3}\mathrm n_{2} & \mathrm n_{3}^{2}\vphantom{\dfrac{}{}} \end{bmatrix} \tag{06} \end{equation}$$
una matriz que representa la proyección vectorial en la dirección $\:\mathbf{n}$.

El campo electromagnético es un ente y esto queda más claro si echamos un vistazo a su transformación. Entonces, para la transformación de Lorentz (02), los vectores$\:\mathbf{E}\:$y$\:\mathbf{B}\:$se transforman de la siguiente manera

$$\begin{align} \mathbf{E}' & =\gamma \mathbf{E}\!-\!\left(\gamma\!-\!1\right)\left(\mathbf{E}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{n}\right)\mathbf{n}+\,\gamma\left(\boldsymbol{\upsilon}\boldsymbol{\times}\mathbf{B}\right) \tag{07a}\\ \mathbf{B}' & = \gamma \mathbf{B}\!-\!\left(\gamma\!-\!1\right)\left(\mathbf{B}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{n}\right)\mathbf{n}\!-\!\dfrac{\gamma}{c^{2}}\left(\boldsymbol{\upsilon}\boldsymbol{\times}\mathbf{E}\right) \tag{07b} \end{align}$$ Ahora, deje que la fuerza de Lorentz 3-vector en una partícula puntual con carga $\:q\:$moviéndose con velocidad $\:\mathbf{u}\:$con respecto a $\:\mathrm S\:$ $$\begin{equation} \mathbf{f} = q\left(\mathbf{E}+\mathbf{u}\boldsymbol{\times}\mathbf{B}\right) \tag{08} \end{equation}$$ Esta fuerza de Lorentz de 3 vectores con respecto a $\:\mathrm S'\:$es $$\begin{equation} \mathbf{f'} = q\left(\mathbf{E'}+\mathbf{u'}\boldsymbol{\times}\mathbf{B'}\right) \tag{09} \end{equation}$$ Tenga en cuenta que el valor de la carga $\:q\:$de una partícula puntual es, por hipótesis, la misma en todos los sistemas inerciales (una invariante escalar), mientras que la velocidad de 3 vectores $\:\mathbf{u}\:$se transforma de la siguiente manera $$\begin{equation} \mathbf{u}^{\boldsymbol{\prime}} = \dfrac{\mathbf{u}+(\gamma-1)(\mathbf{n}\boldsymbol{\cdot} \mathbf{u})\mathbf{n}-\gamma \boldsymbol{\upsilon}}{\gamma \left(1-\dfrac{\boldsymbol{\upsilon}\boldsymbol{\cdot} \mathbf{u}}{c^{2}}\right)} \tag{10} \end{equation}$$ ecuación probada dividiendo las ecuaciones (03a), (03b) una al lado de la otra y estableciendo $\:\mathbf{u}\equiv \mathrm d\mathbf{x}/\mathrm d t\:$, $\:\mathbf{u'}\equiv \mathrm d\mathbf{x'}/\mathrm d t'$.

Ahora, si en (09) reemplazamos$\:\mathbf{E'},\mathbf{B'},\mathbf{u'}\:$por sus expresiones (07a),(07b) y (10) respectivamente, entonces terminamos con la siguiente relación entre los 3-vectores de fuerza

$$\begin{equation} \mathbf{f}^{\boldsymbol{\prime}} = \dfrac{\mathbf{f}+(\gamma-1)(\mathbf{n}\boldsymbol{\cdot} \mathbf{f})\mathbf{n}-\gamma \boldsymbol{\upsilon}\left(\dfrac{\mathbf{f}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{u}}{c^{2}}\right)}{\gamma \left(1-\dfrac{\boldsymbol{\upsilon}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{u}}{c^{2}}\right)} \tag{11} \end{equation}$$ donde las cantidades del campo electromagnético $\:\color{red}{\bf DISAPPEARED !!!}$

Es por eso que en los primeros años de la Relatividad Especial se creía que la transformación (11) era válida para cualquier fuerza al menos del mismo tipo que la fuerza de Lorentz (más exactamente para cualquier fuerza que no cambie la masa en reposo de la partícula).
Siguiendo el mismo camino por el que construimos a partir de (10) el cuadrivector de velocidad$\:\mathbf{U}\:$

$$\begin{equation} \mathbf{U} =\left(\gamma_{\mathrm u}\mathbf{u}, \gamma_{\mathrm u}c\right) \tag{12} \end{equation}$$ construimos también a partir de (11) el vector de fuerza 4 $\:\mathbf{F}\:$ $$\begin{equation} \mathbf{F} =\left(\gamma_{\mathrm u}\mathbf{f}, \gamma_{\mathrm u}\dfrac{\mathbf{f}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{u}}{c}\right) \tag{13} \end{equation}$$ Lorentz transformado $$\begin{equation} \mathbf{F'} = \mathrm L \mathbf{F} \tag{14} \end{equation}$$ o $$\begin{equation} \mathbf{F}^{\boldsymbol{\prime}}= \begin{bmatrix} \gamma_{\mathrm u'}\mathbf{f'}\vphantom{\dfrac{\gamma\boldsymbol{\upsilon}^{\boldsymbol{\top}}}{c}}\\ \gamma_{\mathrm u'}\dfrac{\mathbf{f'}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{u'}}{c} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mathrm I+(\gamma-1)\mathbf{n}\mathbf{n}^{\boldsymbol{\top}} & -\dfrac{\gamma\boldsymbol{\upsilon}}{c} \vphantom{\dfrac{\gamma\boldsymbol{\upsilon}^{\boldsymbol{\top}}}{c}}\\ -\dfrac{\gamma\boldsymbol{\upsilon}^{\boldsymbol{\top}}}{c} & \hphantom{-}\gamma \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \gamma_{\mathrm u}\mathbf{f}\vphantom{\dfrac{\gamma\boldsymbol{\upsilon}^{\boldsymbol{\top}}}{c}}\\ \gamma_{\mathrm u}\dfrac{\mathbf{f}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{u}}{c} \end{bmatrix} =\mathrm L\mathbf{F} \tag{15} \end{equation}$$