¿El voltaje de Planck y la corriente de Planck tienen una interpretación física natural en la relatividad general clásica?

Question

¿El voltaje de Planck y la corriente de Planck tienen una interpretación física natural en la relatividad general clásica?

Física
agujeros negros
unidades absolutas
electromagnetismo
relatividad general
constantes físicas

parker

La mayoría de las unidades de Planck son producto de las potencias de los tres $\hbar$ , $c$ , y $G$ , por lo que no podremos comprender completamente su significado físico hasta que tengamos una teoría completa de la gravedad cuántica. Pero algunos de ellos son solo potencias de una o dos de esas tres cantidades, y deberíamos poder entender esas unidades en un régimen físico más simple. Por ejemplo, la carga de Planck $\sqrt{\hbar c}$ (bajo las convenciones de Lorentz-Heaviside) establece la escala natural para las constantes de acoplamiento de una teoría de campo cuántica relativista en un no dinámico $(3+1)$ -espacio-tiempo dimensional (y, de hecho, a bajas energías, las constantes de acoplamiento del modelo estándar están todas dentro de un orden de magnitud más o menos de esta escala de carga).

Otros ejemplos son la fuerza de Planck $c^4/G$ , la potencia de Planck $c^5/G$ , el voltaje de Planck $c^2/\sqrt{G}$ , y la corriente de Planck $c^3/\sqrt{G}$ . Estas cantidades son solo potencias de $c$ y $G$ , por lo que deberían tener una interpretación dentro de la relatividad general completamente clásica. De hecho, como explica la página de Wikipedia, la fuerza de Planck establece la escala de la fuerza gravitatoria entre dos agujeros negros de Schwarzchild cualesquiera (independientemente de sus masas) cuyos horizontes de eventos apenas se tocan, y también establece la escala de las fuerzas gravitatorias efectivas que induce la curvatura del espacio-tiempo. sobre la materia

El significado físico del voltaje de Planck y la corriente de Planck en GR clásico es menos claro para mí. ¿En qué sentido establecen las escalas naturales de voltaje y corriente en GR?

Dos conjeturas, que parecen tener un espíritu similar a la interpretación física de las otras unidades de Planck, es que la corriente efectiva que circula alrededor del ecuador de cualquier agujero negro de Kerr-Newman es del orden de la corriente de Planck, y que la corriente de Planck El voltaje es la mayor diferencia de voltaje posible antes de que la autogravitación de la energía electrostática haga que el sistema colapse en un agujero negro de Reisser-Nordstrom. (Pero esas son básicamente conjeturas salvajes).

Editar: para aclarar, la proposición de que "el voltaje y la corriente de Planck no dependen de $\hbar$ " tal vez requiera cierta sutileza de interpretación, pero no es importante para mi pregunta. Solo me pregunto si hay algún sentido en el que las cantidades $c^2/\sqrt{G}$ y $c^3/\sqrt{G}$ establecer escalas naturales para voltaje y corriente en la teoría puramente clásica de EM+GR (sin cuantificación de carga). No tiene que llamar a esas cantidades "voltaje y corriente de Planck" si no lo desea; eso fue solo motivacion

esfera segura

"Estas cantidades son solo potencias de c y G, por lo que deberían tener una interpretación dentro de la relatividad general completamente clásica". Si bien esto es ciertamente posible (e incluso probablemente en función de las magnitudes), no hay suficiente lógica en esta declaración para garantizar que es verdad. Por ejemplo, el origen de G es desconocido y puede estar relacionado con fenómenos cuánticos.

rexciro

Me pregunto si la interpretación del horizonte del agujero negro como una membrana que cumple la ley de Ohm con una resistividad superficial de ρ = 4π ≈ 377 Ω está relacionada. No estoy seguro, ya que aparentemente es la ley de Ohm no relativista. Sin embargo, una pregunta interesante.

Mozibur Ullah

+1: para carga y voltaje de planck: no los había encontrado antes.

parker

@Rexcirus Esa no es la resistividad superficial de un BH, sino la resistencia superficial. Y podría ser más relativista de lo que sospechas, porque si dejas de configurar

c = 1

$c = 1$ entonces en realidad es

R = 4 π / c = 377 Ω

$R = 4 \pi / c = 377\, \Omega$ :-). Como sugiere la falta de un

G

$G$ , ese valor es en realidad solo la impedancia del espacio-tiempo plano del espacio libre y no es particular de los agujeros negros.

Respuestas (3)

¿El voltaje de Planck y la corriente de Planck tienen una interpretación física natural en la relatividad general clásica?

"Estas cantidades son solo potencias de c y G, por lo que deberían tener una interpretación dentro de la relatividad general completamente clásica". Si bien esto es ciertamente posible (e incluso probablemente en función de las magnitudes), no hay suficiente lógica en esta declaración para garantizar que es verdad. Por ejemplo, el origen de G es desconocido y puede estar relacionado con fenómenos cuánticos.
Me pregunto si la interpretación del horizonte del agujero negro como una membrana que cumple la ley de Ohm con una resistividad superficial de ρ = 4π ≈ 377 Ω está relacionada. No estoy seguro, ya que aparentemente es la ley de Ohm no relativista. Sin embargo, una pregunta interesante.
+1: para carga y voltaje de planck: no los había encontrado antes.
@Rexcirus Esa no es la resistividad superficial de un BH, sino la resistencia superficial. Y podría ser más relativista de lo que sospechas, porque si dejas de configurar $c = 1$ entonces en realidad es $R = 4 \pi / c = 377\, \Omega$ :-). Como sugiere la falta de un $G$ , ese valor es en realidad solo la impedancia del espacio-tiempo plano del espacio libre y no es particular de los agujeros negros.

Thorondor · Answer 1

Para evitar los problemas planteados en la respuesta de Andrew, trabajemos en unidades SI. Entonces el voltaje de Planck es

\frac{C^{2}}{\sqrt{4 π ε_{0} GRAMO}} \approx 1.04 \times 10^{27} V

$\frac{c^2}{\sqrt{4\pi \varepsilon_0 G}} \approx 1.04 \times 10^{27} \text{ V}$

y la corriente de Planck es

\frac{C^{3}}{\sqrt{GRAMO / 4 π ε_{0}}} \approx 3.48 \times 10^{25} A

$\frac{c^3}{\sqrt{G/4\pi \varepsilon_0}} \approx 3.48 \times 10^{25} \text{ A}$

Tensión de Planck

¿Cuál es el voltaje máximo que uno podría alcanzar teóricamente en el universo clásico EM+GR? Considere un objeto cargado esféricamente simétrico con carga $Q$ , masa $M$ y radio $R$ . (Por supuesto, los objetos no tienen que ser esféricamente simétricos, pero el resultado del caso esféricamente simétrico debe estar dentro de un pequeño factor constante del límite verdadero). El voltaje en su superficie es

V = \frac{q}{4 π ε_{0} R}

$V = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R}$

Intentemos aumentar el voltaje reduciendo el radio del objeto. Si hacemos esto, el objeto eventualmente colapsará en un agujero negro. Esto ocurre en el radio de Schwarzschild.

R_{s} = \frac{2 GRAMO METRO}{C^{2}}

$R_s = \frac{2GM}{c^2}$

cuando el voltaje es

V = \frac{q C^{2}}{4 π ε_{0} \cdot 2 GRAMO METRO}

$V = \frac{Qc^2}{4\pi\varepsilon_0 \cdot 2GM}$

Ahora podemos aumentar aún más el voltaje aumentando la carga $Q$ . De acuerdo con la métrica de Reissner-Nordström, un agujero negro cargado tiene dos horizontes de eventos, el horizonte de eventos verdadero (externo) y un horizonte de Cauchy (interior). Los radios de estos horizontes están dados por las raíces de una ecuación cuadrática. A medida que aumenta la carga del agujero negro, los horizontes se acercan más y más hasta que sus radios son iguales. Esto sucede cuando

\begin{aligned} \sqrt{\frac{q^{2} GRAMO}{4 π ε_{0} C^{4}}} = R_{q} & \geq \frac{1}{2} R_{S} = \frac{GRAMO METRO}{C^{2}} \\ \Rightarrow \frac{q}{METRO} & \geq \sqrt{4 π ε_{0} GRAMO} \end{aligned}

$\begin{align} \sqrt{\frac{Q^2G}{4\pi\varepsilon_0 c^4}} = R_Q &\geq \frac12 R_S = \frac{GM}{c^2} \\ \Rightarrow \frac{Q}{M} &\geq \sqrt{4\pi\varepsilon_0 G} \end{align}$

Más allá de este punto, las soluciones a la ecuación cuadrática se vuelven imaginarias, lo que indica que no hay un horizonte de eventos y que la singularidad del agujero negro se ha vuelto desnuda. Si asumimos que eso no es físicamente significativo, el voltaje ha alcanzado un límite de

V = \frac{C^{2} \sqrt{4 π ε_{0} GRAMO}}{8 π ε_{0} GRAMO} = \frac{C^{2}}{2 \sqrt{4 π ε_{0} GRAMO}}

$V = \frac{c^2\sqrt{4\pi\varepsilon_0 G}}{8\pi\varepsilon_0 G} = \frac{c^2}{2\sqrt{4\pi \varepsilon_0 G}}$

que es la mitad del voltaje de Planck.

Puede sospechar que es posible sortear este límite al no permitir que el objeto se colapse en un agujero negro. Sin embargo, eso tampoco funciona: incluso si la masa en reposo se mantiene baja, si aumentamos $Q/R$ demasiado, todavía tenemos demasiada energía potencial electrostática concentrada en un espacio pequeño. Se forma un agujero negro una vez más.

Corriente de Planck

En relatividad, la corriente es una cantidad relativa: cambia de un marco de referencia a otro. Por lo tanto, en lugar de un cable portador de corriente, examinemos la corriente de Planck considerando una trayectoria de caída libre que se aproxima al agujero negro extremo desde la última sección. Como antes, la carga del agujero negro se limita a

\frac{q}{METRO} = \sqrt{4 π ε_{0} GRAMO}

$\frac{Q}{M} = \sqrt{4\pi\varepsilon_0 G}$

Por análisis dimensional, a medida que nos acercamos al horizonte de eventos del agujero negro y aumentamos nuestra velocidad hacia la velocidad de la luz, esperaríamos observar una corriente que aumenta hacia aproximadamente

q (\frac{C}{R_{s}}) = \frac{METRO C \sqrt{4 π ε_{0} GRAMO}}{2 GRAMO METRO / C^{2}} = \frac{C^{3} \sqrt{4 π ε_{0}}}{2 \sqrt{GRAMO}}

$Q \left(\frac{c}{R_s}\right) = \frac{Mc\sqrt{4\pi\varepsilon_0 G}}{2GM/c^2} = \frac{c^3\sqrt{4\pi\varepsilon_0}}{2 \sqrt{G}}$

que es la corriente de Planck (dentro de un factor de 2). Sin embargo, este resultado no implica ningún límite físico claro ya que, a diferencia del voltaje, la corriente puede distribuirse en grandes regiones del espacio.

Andrés · Answer 2

No creo que esta pregunta realmente tenga una respuesta única, pero mi opinión es que la premisa de la pregunta es un poco confusa debido al uso de unidades Heaviside.

De hecho, me parecería más natural introducir la constante de estructura fina

α = \frac{{mi}^{2}}{4 π ϵ_{0} ℏ C}

$\begin{equation} \alpha = \frac{e^2}{4\pi \epsilon_0 \hbar c} \end{equation}$ Entonces, la "carga de Planck" es realmente solo la unidad de carga base estándar

mi = \sqrt{4 π ϵ_{0} ℏ C α}

$\begin{equation} e = \sqrt{4\pi \epsilon_0 \hbar c \alpha} \end{equation}$ Y el voltaje de Planck (energía de Planck por carga de Planck) es

V_{PAG yo} = \frac{{mi}_{pag yo}}{mi} = \sqrt{\frac{ℏ C^{5}}{4 π ϵ_{0} α ℏ C GRAMO}} = \sqrt{\frac{C^{4}}{4 π ϵ_{0} α GRAMO}}

$\begin{equation} V_{\rm Pl} = \frac{E_{\rm pl}}{e} = \sqrt{\frac{\hbar c^5}{4 \pi \epsilon_0 \alpha \hbar c G}} = \sqrt{\frac{c^4}{4\pi \epsilon_0 \alpha G}} \end{equation}$ O, en unidades donde

4 π ϵ_{0} = 1

$4\pi\epsilon_0=1$ ,

V_{PAG yo} = \sqrt{\frac{C^{4}}{α GRAMO}} = \sqrt{\frac{ℏ C^{5}}{{mi}^{2} GRAMO}}

$\begin{equation} V_{\rm Pl} = \sqrt{\frac{c^4}{\alpha G}} = \sqrt{\frac{\hbar c^5}{e^2 G }} \end{equation}$ Para mí esto es más natural, ya que en esta ecuación aparece explícitamente un parámetro electromagnético.

De esta forma, es quizás más claro que la presencia o ausencia de $\hbar$ en esta expresión depende de si piensas en $\alpha$ o $e$ como algo más fundamental. La lógica clásica directa diría que la carga eléctrica $e$ es una cantidad básica. Tengo dos argumentos principales: (1) la carga es algo que se puede medir clásicamente y (2) no hay razón para usar $\alpha$ en electrodinámica a menos que estés haciendo teoría cuántica de campos.

El punto en (2) de que la interpretación natural de un parámetro es diferente en la teoría clásica y cuántica es una situación bastante común en realidad. Por ejemplo, normalmente escribimos el término de masa de una teoría de campo escalar Lagrangiano como $\frac{1}{2} m^2\phi^2$ , pero esto es solo porque establecemos $\hbar=c=1$ . Dimensionalmente, el parámetro $m^2$ es realmente una frecuencia al cuadrado, y si restauras $\hbar$ y $c$ este término es realmente $\frac{1}{2} \omega^2 \phi^2 = \frac{1}{2} \frac{m^2 c^4}{\hbar^2}\phi^2$ . Clásicamente, no hay ninguna razón para pensar en este término como una masa; la interpretación proviene de cuantificar el campo escalar e identificar los cuantos con partículas. De manera similar, clásicamente, la forma natural de escribir la derivada covariante de un escalar cargado es $D_\mu \Phi = (\partial_\mu - i e A_\mu) \Phi$ , dónde $e$ es el cargo. Sólo es conveniente introducir $\alpha$ cuando comenzamos a calcular diagramas de Feynman u otros efectos cuánticos. De hecho, wikipedia da varias interpretaciones de $\alpha$ , que implican algún efecto cuántico, por ejemplo: "La relación de la velocidad del electrón en la primera órbita circular del modelo de Bohr del átomo, que es $\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0\hbar}$ , a la velocidad de la luz en el vacío, $c$ ."

De todos modos, si aceptas eso $e$ es una elección más natural que $\alpha$ , clásicamente, entonces el voltaje de Planck depende de $\hbar$ .

Un punto menor y un punto importante en respuesta. El punto menor es que si bien tiene razón en que la carga elemental ciertamente establece una escala de carga importante, estoy completamente en desacuerdo con que sea la elección natural de la "carga de Planck". El punto central de las unidades de Planck es que caracterizan la estructura del espacio-tiempo y las leyes más fundamentales de la física en sí mismas, no cualquier parámetro contingente del Modelo Estándar como las constantes de acoplamiento entre campos. Hay contenido físico en la afirmación de que $e/\hbar c = \sqrt{\alpha}$ es mucho menor que 1; nos dice que QED es un débilmente acoplado
teoría. Por el contrario, el valor de $\sqrt{\hbar c}$ no tiene un interés físico fundamental, y es claramente la unidad natural para normalizar a 1. (Sería posible, pero menos conveniente o conceptualmente claro, hacer QED en unidades donde $\alpha = 1$ . Además, la carga de Planck establece la escala de carga natural en QFT para todos los acoplamientos de calibre, incluidas las interacciones fuertes y débiles, no solo EM. Parece muy arbitrario designar a EM como el establecimiento de "la" escala de Planck, especialmente porque el valor de $\alpha$ ni siquiera es un parámetro fundamental en el SM, pero se puede expresar en términos de más
@tparker Bueno, dos cosas. (a) Hasta donde sabemos, la carga del electrón es una escala de carga fundamental en la naturaleza. Pero bueno, si quieres definir una escala de carga base "planckiana" que no sea la carga de una partícula. está bien. (b) Podrías repasar mi argumento con $e$ reemplazado por $e_{\rm Pl}$ . El paso clave será si dices $e_{\rm Pl}$ es una cantidad fija, o si escala con $\hbar$ . Si usted dice $e_{\rm Pl}$ escalas con $\hbar$ , entonces en realidad no tiene un significado clásico, así que yo diría que cualquier cantidad basada en $e_{\rm Pl}$ como un voltaje tampoco tienen un significado clásico.
También este es un punto secundario, pero no entiendo cómo puede "elegir unidades" donde la cantidad adimensional $\alpha$ es igual a $1$ .
(a) Hasta cierto punto, depende de lo que entienda por "fundamental", pero casi todos los físicos de partículas consideran $\alpha$ ser una cantidad derivada de parámetros más fundamentales: preposterousuniverse.com/blog/2018/09/25/… . (Nota al margen: ¿qué tiene que ver todo esto con el uso de unidades Heaviside como mencionas? Eso solo cambia el $4 \pi \epsilon_0$ s, no el $\hbar$ s que son clave para la pregunta).
@tparker Sinceramente, no estoy muy interesado en entrar en una discusión larga y prolongada sobre la semántica, por lo que esta será mi última palabra; por supuesto que no es necesario que acepte mi respuesta. Decir que "esta constante no depende de $\hbar$ significa que no es cuántico" es demasiado ingenuo, debe considerar el contexto en el que está trabajando. Si su teoría incluye una "carga mecánica cuántica" dependiendo de $\hbar$ , entonces la interpretación de todas las cantidades electromagnéticas basadas en esa carga son intrínsecamente mecánicas cuánticas incluso si $\hbar$ no aparece
Estaba interpretando su propuesta de que "elija la carga de Planck" para que sea $e$ significa que reformula su formalismo QFT para que no tenga un factor explícito de $e$ , que requiere no configurar simultáneamente $\hbar$ y $c$ igual a 1. Pero supongo que probablemente eso no es lo que quisiste decir.
Está bien, pero en realidad todo esto fue, como dices, un pequeño aparte sobre la semántica. Mi punto principal es que creo respetuosamente que usted ha malinterpretado fundamentalmente todo el punto de mi pregunta. Si asume que la carga está cuantizada, entonces ya está trabajando implícitamente en algo de mecánica cuántica. Pero mi punto es que podrías imaginar un universo puramente clásico lógicamente consistente en el que la carga no está cuantizada, descrita únicamente por GR clásico. En tal universo, habría una escala natural de voltaje y corriente establecida únicamente por $G$ y $c$ . ¿Cuál sería el
interpretación física de estas escalas? Eso es lo que realmente estaba preguntando, así que la cuestión de cómo se elige la carga elemental para escalar con $\hbar$ es irrelevante.
@tparker No creo que sea irrelevante. $c^2/\sqrt{G}$ no es un voltaje (energía por unidad de carga) en unidades SI. Tiene unidades de Es solo un voltaje en este contexto porque hemos decidido medir la carga como un número adimensional multiplicado por una escala de carga base $e_{\rm Pl}$ . Ahora para hacer preguntas sobre $\hbar$ dependencia tenemos que decidir cómo varias cantidades escalan con $\hbar$ . Si pensamos en la escala de carga base como un parámetro fundamental (que estoy argumentando que es natural clásicamente), entonces la energía de Planck por carga depende de $\hbar$ . Si la escala de carga base cambia con $\hbar$ , entonces...
...La energía por carga resulta no depender de $\hbar$ . Pero digo que no puedes concluir que esta cantidad tiene un significado puramente clásico, porque se derivó en un contexto donde la definición de carga es intrínsecamente mecánica cuántica.
Este es un punto válido, pero sigue siendo irrelevante para lo que estaba preguntando. Para evitar el mundo "Planck", defina el "voltaje de Einstein" como $c^2/\sqrt{4 \pi \epsilon_0 G}$ (que de hecho tiene las unidades de voltaje en sus unidades SI preferidas). Creo que todos podemos estar de acuerdo en que el voltaje de Einstein no contiene ningún factor. $\hbar$ . Además, parece establecer una escala de voltaje natural para la teoría de EM clásica (con distribuciones de carga continuas) y GR clásica . ¿Cuál es la interpretación física de esta escala de voltaje?
Y lo mismo con la corriente. No hay cargos elementales a la vista; no estamos asumiendo que la carga está cuantificada sino que está modelada por un fluido continuo clásico.
@tparker No entiendo por qué motivó su pregunta con una discusión sobre el cargo de Planck si esta era su pregunta. También creo que parece bastante condescendiente incluir un enlace al artículo de wikipedia sobre la teoría de Einstein-Maxwell. De todos modos, lo que sea. Busqué la métrica Reissner-Nordstrom y la combinación $c^2/\sqrt{4\pi \epsilon_0 G}$ aparece Se puede decir que es el potencial eléctrico. $Q/(4\pi\epsilon_0 r_Q)$ del agujero negro en el radio de carga $r_Q$ . Alternativamente, podría decir que es el doble del potencial en el radio de Schwarzschild de un BH extremadamente cargado.
Supongo que la escala actual aumentaría si hicieras algo como mirar el campo magnético de un agujero negro con carga extrema potenciada cerca del radio de Schwarzschild, o mirar el campo magnético de cuerdas con carga extrema potenciada cerca de sus horizontes en dimensiones más altas.

JRL · Answer 3

JRL

Hay que tener mucho cuidado al asignar cualquier significado físico fundamental a cualquiera de los valores de Planck. Todos se basan en decisiones arbitrarias sobre cuál de las constantes físicas contiene un valor de unidad. Si bien los valores de Planck pueden ser útiles, no representan valores fundamentales de la naturaleza, ya que pueden definirse de muchas maneras diferentes.

JG

Dejando a un lado ese descargo de responsabilidad, con

c = ℏ = G = 4 π ε_{0} = 1

$c=\hbar=G=4\pi\varepsilon_0=1$ el voltaje de Planck es

\frac{c^{2}}{\sqrt{4 π ε_{0} G}} \approx 1.0429 \times 10^{27} V

$\frac{c^2}{\sqrt{4\pi\varepsilon_0G}}\approx1.0429\times10^{27}\operatorname{V}$ , mientras que la corriente de Planck es

c^{3} \sqrt{\frac{4 π ε_{0}}{G}} \approx 3.4789 \times 10^{25} A

$c^3\sqrt{\frac{4\pi\varepsilon_0}{G}}\approx3.4789\times{10}^{25}A$ . La pregunta es realmente si estos poderes de módulo de

4 π

$4\pi$ etc., son significativos.

JRL

Sin embargo, c=ℏ=G=1 no es más que una forma conveniente de comparar constantes universales. No hay absolutamente ninguna razón física para establecer esta igualdad. Si bien aparentemente a algunos no les gusta mi respuesta de que uno debe tener cuidado al dar demasiado significado a los valores de Planck, no obstante, es la declaración correcta. Los valores de Planck pueden ser útiles, pero se debe tener mucho cuidado al asignarles un significado físico.

JG

Estás perdiendo el punto. Sí, nuestras definiciones de voltajes y corrientes de Planck se pueden ajustar mediante algunas pequeñas constantes multiplicativas. Pero la pregunta es si algo en ese conjunto de opciones tiene un significado físico. Dada la frecuencia con la que la respuesta es sí (por ejemplo, el límite de Chandrasekhar para

L = 0

$L=0$ enanas blancas es

N^{2} m_{Pl}^{3}

$N^2m_\text{Pl}^3$ ), es una pregunta que vale la pena responder con "no" o "sí, con esta definición específica" (lo que sea cierto), no "existen múltiples significados, pregunta inválida".

JRL

@JG Punto bien tomado. Y sí, los valores de Planck pueden ser útiles, un punto en el que estoy totalmente de acuerdo. Quizás deba ser más específico y afirmar que se debe tener cuidado de no asignar ningún significado físico fundamental a los valores de Planck.

JG

Ese es un punto mejor, del cual el OP es consciente.

¿El voltaje de Planck y la corriente de Planck tienen una interpretación física natural en la relatividad general clásica?

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