Normalización de caja

Siempre que estudiamos campos libres, las soluciones de estos campos (o partículas, lo que se sienta más cómodo) siempre están dadas por ondas planas. La relación de dispersión$\omega=\omega(k)$por supuesto, dependerá de su tipo de sistema (pero ignoremos esto por el momento).

De hecho, voy a ver todo el asunto no relativista (no es que esto sea necesario).

Si queremos resolver nuestra ecuación (permítanme denotar la ecuación por un operador$L$):

$$L\psi(\vec{r},t)=0,$$ dónde $\psi(\vec{r},t)$es el campo cuántico y $L$es una especie de ecuación de onda para el campo libre. Entonces podemos resolver la ecuación anterior completando la expansión de Fourier del campo libre: $$\psi(\vec{r},t)=\sum_\vec{k}\psi(\vec{k})\exp\left(i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega(\vec{k})t)\right),$$ con $\psi(\vec{k})$los diferentes coeficientes de Fourier.

Dado que queremos que nuestra función de onda de la mecánica cuántica se normalice (más fácil para la teoría de la perturbación), imponemos la normalización como:

$$1=\int\text{d}^3\vec{r}\left(\psi^*(\vec{r},t)\psi(\vec{r},t)\right).$$ Si observamos el espacio libre (por lo tanto, un vacío infinito), las ondas planas no son normalizables. Lo cual es, por supuesto, un problema.

Para poder normalizar la onda plana confinamos nuestro sistema a una caja de volumen finito$V$que tomamos como infinito al final de los cálculos (o generalmente uno ya que$V$tiende a abandonar en todas partes). Esta caja se elige para que sea cuadrada y tenga un lado$L$. Ahora, simplemente imponer una caja no es suficiente, por supuesto, necesitamos condiciones de contorno. Para preservar el impulso, imponemos condiciones de contorno periódicas en esta caja.

$$\psi(x+L,y,z,t)=\psi(x,y,z,t),$$ $$\psi(x,y+L,z,t)=\psi(x,y,z,t),$$ $$\psi(x,y,z+L,t)=\psi(x,y,z,t),$$ lo que conduce a una cuantización en los momentos.

Con esta normalización de caja, podemos normalizar la función de onda y continuar con nuestros cálculos. Ahora mi pregunta es la siguiente:

Preguntas:

1. ¿Por qué siempre asumimos una caja cuadrada cuando imponemos la normalización de caja?
2. ¿Produce esto los mismos resultados que una caja rectangular donde los diferentes lados$L_1$,$L_2$y$L_3$no son iguales?
3. ¿O imponemos que todos los lados$L_1$,$L_2$y$L_3$son iguales en aras de la homogeneidad y la isotropía del espacio libre?

Nota: Sigamos con las coordenadas cartesianas en aras de la simplicidad. Me queda claro que la caja puede convertirse en esfera en coordenadas esféricas y en cilindro en coordenadas cilíndricas.