¿Cómo infirió Kepler las posiciones tridimensionales a partir de los datos de Tycho Brahe?

En la época de Kepler, las distancias no se medían ni se observaban directamente. O si se midió, los resultados fueron completamente erróneos. Todas sus leyes se expresan en términos de RAZONES de distancias, y estas proporciones se pueden medir en principio a partir de la geometría de la situación. Cuando describe todo como se ve desde la Tierra (como lo hicieron los antiguos), las distancias son completamente irrelevantes. Pero cuando se usa el sistema heliocéntrico, todas las proporciones de las distancias a la distancia de la Tierra al Sol se pueden obtener a partir de la observación angular.

Por supuesto, esto es sólo el principio general. Los detalles son MUCHO más complicados.

EDITAR. Pero la idea es la siguiente: supongamos por simplicidad que todo sucede en el mismo plano, y que los planetas se mueven en círculos. (En realidad, esta es una buena aproximación porque las inclinaciones de las órbitas son pequeñas y las excentricidades también son pequeñas. Visto desde la Tierra, el Sol gira en un círculo de radio$r$uniformemente, con centro en la Tierra. El planeta gira alrededor del Sol en un círculo de radio$R$, también uniformemente. Suponga que en tres momentos diferentes observa la dirección del planeta, esto significa esencialmente que mide dos ángulos en su imagen. Y otros dos ángulos que conoces porque conoces el tiempo de las observaciones y la velocidad de rotación del Sol. A partir de estos ángulos por geometría pura puedes encontrar la relación$r/R$. Solo haz una imagen y considéralo un ejercicio de geometría de secundaria (de dificultad moderada). Esto ya lo sabía Ptolomeo, por cierto.

Estas proporciones eran conocidas por Kepler, y al jugar con ellas descubrió su ley tridimensional
. Pero su mayor logro es la PRIMERA ley: pudo deducir de las observaciones (del mismo tipo que describí) que los planetas realmente no se mueven en círculos sino en elipses. No puedo explicar cómo exactamente hizo esto dentro del espacio permitido aquí:-) Pero su propia explicación está disponible en inglés por cierto.

Esta no es realmente una respuesta completa, pero es demasiado larga para ser un comentario. Alexandre Eremenko ha escrito una buena respuesta, que pretende complementar.

Un punto a entender es que lo que hizo Kepler fue un ejercicio de ajuste de curvas. Hay 6 parámetros necesarios para describir una órbita Kepleriana. (Puede saber que hay 6 contando los grados de libertad. Un vector de posición inicial y un vector de momento inicial son suficientes para definir tal órbita). Cuando observa la posición de un objeto en el cielo, en principio necesita 6 números para definir sus elementos orbitales. Por ejemplo, podrías hacer esto encontrando su declinación y ascensión recta en tres noches diferentes.

Todo esto solo funciona si asumes una órbita Kepleriana. Por ejemplo, supongamos que el sol violó las leyes de la física, tal como se entiende actualmente, al moverse al azar a lo largo de la línea que conecta el sol con la tierra. Esto no tendría ningún efecto sobre la ascensión y la declinación rectas del sol, por lo que nunca podríamos detectar este movimiento a partir de las mediciones de esas coordenadas.

Otra cosa que puede ayudar con la intuición es darse cuenta de que esto es directamente análogo al método de paralaje para medir las distancias a las estrellas. La única diferencia es que consideramos que una estrella está distante y en reposo, lo cual es un caso degenerado de movimiento kepleriano.

¿Qué técnicas usó Kepler para agregar una dimensión de profundidad a estas observaciones, para crear los datos tridimensionales que uno puede comenzar a estudiar para llegar a sus tres leyes?

Entonces, creo que esta parte de la pregunta hace una suposición incorrecta, que es que Kepler primero encontró el movimiento tridimensional y luego infirió las leyes de Kepler a partir de él. El movimiento tridimensional ya era conocido y modelado mediante epiciclos, tomando arbitrariamente la tierra en reposo. Kepler estaba refinando este modelo tridimensional previamente desarrollado y también (trivialmente, desde un punto de vista matemático) cambiando el origen de las coordenadas.