¿Cómo "adivinó" Kepler su tercera ley a partir de los datos?

Es sorprendente que Kepler haya determinado sus tres leyes mirando datos, sin calculadora y usando solo lápiz y papel. Es concebible cómo demostró que sus leyes describían los datos después de que ya los había conjeturado, pero lo que no entiendo es cómo los adivinó en primer lugar.

Me centraré en particular en la tercera ley de Kepler, que establece que el cuadrado del período orbital de un planeta es proporcional al cubo del semieje mayor de la órbita.

Supongo que Kepler estaba trabajando solo con datos sobre los planetas, además de nuestra propia luna y el sol. Hago esta suposición porque no creo que Kepler tuviera datos sobre otras lunas, cometas o asteroides, que aún no habían sido observados por telescopio. Si esto es cierto, sabiendo que Neptuno, Urano y Plutón aún no fueron descubiertos cuando Kepler estaba vivo, esto significa que Kepler tenía menos de 9 puntos de datos con los que trabajar.

Mi amigo afirma que es totalmente concebible cómo Kepler adivinó esta relación (aunque no proporciona ningún método de cómo Kepler podría haberlo hecho), y también que las observaciones de Kepler "no son tan difíciles". Como desafío, le di a mi amigo una tabla de datos con una columna etiquetada X , el otro y , y 9 coordenadas ( X , y ) que se ajustan a la relación X 4 = y 3 . Dije "por favor encuentra la relación entre X y y ", y como era de esperar, no lo hizo.

Por favor, explícame cómo diablos Kepler adivinó esta relación trabajando con tan pocos puntos de datos. Y si mi suposición de que la cantidad de puntos de datos que Kepler tenía a su disposición es pequeña es incorrecta, entonces sigo pensando que es bastante difícil adivinar esta relación sin una calculadora.

En ese tiempo, los científicos podían hacer muchos cálculos astronómicos a mano (ver tablas logarítmicas y de prostaféresis ) y Kepler era un astrónomo teórico muy, muy inteligente.
Sobre los descubrimientos de Kepler, puede consultar al menos Alexandre Koyré, The Astronomical Revolution: Copernicus - Kepler - Borelli (ed. original 1961).
Hay cierta confusión en las respuestas a continuación, ya que parecen sugerir que los logaritmos son una parte esencial de la idea de Kepler. Este no es el caso. La ley establece que PAG 2 ∝ a 3 , que podría haber adivinado mirando las magnitudes de los números y fácilmente confirmado al notar que la trama de PAG 2 contra a 3 es una línea aproximadamente recta. Kepler era un matemático muy hábil y estaba obsesionado con los patrones, por lo que no es difícil imaginar que pasó mucho tiempo probando cosas hasta que dio con esto.
Dado que los antiguos griegos hablaban de la música de las esferas, ¡podría no ser un gran salto que Kepler usara un intervalo musical como potencia! es decir, 1,5 el quinto natural.
Otra biografía de Kepler es de Arthur Koestler... The Watershed: A Biography of Johannes Kepler . (extraído de Los sonámbulos .) ISBN 978-0-385-09576-1

Respuestas (3)

Puede leer Harmonia Mundi de Kepler (hay una traducción al inglés abreviada, pero incluye esa parte). Kepler estuvo buscando todo tipo de relaciones numéricas durante muchos años (la mayor parte de su vida). La mayoría de las relaciones que encontró en Harmonia Mundi son accidentales y no tienen ningún valor para la ciencia moderna.

Estoy de acuerdo con tu amigo en que, dados 6 pares de números (se conocían 5 planetas + la Tierra), después de algunas pruebas, uno podría descubrir la ley tridimensional. (Hubo descubrimientos más sorprendentes de este tipo en la historia de la ciencia, por ejemplo, la serie de Balmer, que es aún más impresionante que la Tercera ley).

El mayor logro de Kepler fue la Primera Ley. Este fue realmente uno de los mayores avances en toda la historia de la ciencia. Y él mismo describió con gran detalle todos los pasos que dio para descubrir esto. Incluyendo todos los errores que cometió. Esta descripción está en su Astronomia Nova. Y también hay una traducción al inglés, ¡completa! Para que puedas seguir cada paso que dio. Si tienes tiempo y paciencia.

Los logaritmos recién se inventaron cuando Kepler estaba escribiendo Astronomia Nova. La tercera Ley fue descubierta 10 años después. Si graficas logaritmos de períodos contra logaritmos de distancias, obtienes una línea recta. Por lo tanto, sería sorprendente que alguien que conociera los datos y los logaritmos, y tratara de descubrir alguna relación, se perdiera esto :-)

Estoy de acuerdo en que es asombroso y un crédito para la visión de Kepler de los patrones numéricos, que recuerda a la de Euler. Kepler tardó 12 años adicionales en descubrir la tercera ley después de descubrir las dos primeras, tal vez precisamente debido a la relativa escasez de puntos de datos.

Según Kepler , después de años de buscar patrones adicionales, el 8 de marzo de 1618 una idea "maravillosa" repentinamente "apareció" en su cabeza, que "la proporción entre los tiempos periódicos de dos planetas cualesquiera es precisamente una vez y media la proporción de las distancias medias". En otras palabras, concibió lo que llamaríamos un ajuste logarítmico lineal entre distancias medias y períodos. Sin embargo, no encajaba... al principio, debido a un error de cálculo. Pero el 15 de marzo la idea "se le ocurrió" de nuevo, y acertó en los cálculos.

Una especulación plausible es que Kepler se inspiró milagrosamente al leer el trabajo de Napier de 1614 sobre logaritmos a fines de 1616. Es poco probable que usara gráficos o diagramas, pero si convirtió las distancias medias y los períodos en sus logaritmos usando las tablas de Napier, la relación de proporcionalidad constante de 1 1 2 entre los dos habría sido notable. Sin embargo, su relato sugiere que primero concibió un patrón de esta forma, y ​​solo entonces hizo los cálculos. Más tarde escribió su propio libro sobre logaritmos (publicado en 1621) y los usó en cálculos para las tablas de Rudolphine .

Sin embargo, una palabra de precaución sobre el autoinforme de Kepler. Contó una historia asombrosamente fascinante sobre el descubrimiento de las dos primeras leyes en Astronomia Nova. Pero... "investigaciones recientes, especialmente la de William H. Donahue, han demostrado que el relato que Kepler ofrece a sus lectores no es una historia real del curso de su investigación--algo que Kepler nunca afirmó--sino que es más bien una didáctica o pseudohistoria retórica", véase Voelkel, The Composition of Kepler's Astronomia Nova .

Cualquiera que se dedique a las matemáticas será consciente de la forma en que las buenas ideas pueden aparecer en su cabeza sin que aparentemente se produzca un hilo de pensamiento que las conduzca. Es muy misterioso. A veces creo que vale la pena tener eso en cuenta cuando nos preguntamos "¿cómo se le ocurrió a alguien esto?". Si la solución al ejercicio 4.1.5 se te ocurrió en un instante, imagina el tipo de evento nuclear que debe haber sido cuando le sucedió lo mismo a Kepler o Gauss...
En realidad, Kepler aprendió logaritmos de su co-inventor Jobst Bürgi , quien trabajó en su laboratorio. Quoth O'Connor-Robertson : “Existe una fuerte evidencia de que Kepler obtuvo la idea de su tercera ley del movimiento planetario al pensar en los logaritmos, y debe haber sido a través de discusiones con Bürgi que los logaritmos eran un tema común en Hradcany. (...) Kepler escribió sobre los logaritmos de Bürgi en la introducción a sus Tablas Rudolfinas (1627). (...)”
Tu enlace a "El libro de Voelkel" no funciona. Corríjalo y agregue una referencia sobre el trabajo de Donahue, si es posible.

La tercera ley de Kepler podría haberse deducido en base a los parámetros orbitales mencionados en el Almagesto de Ptolomeo (del siglo II EC). No era importante para esto que Kepler tuviera a su disposición observaciones más modernas y de mayor precisión, ni que hubiera descubierto que las órbitas eran elipses en lugar de círculos. El siguiente gráfico muestra los tamaños orbitales (a) y los períodos (P) deducidos del Almagesto como pequeños cuadrados, y muestra la tercera ley de Kepler como una línea recta. La correspondencia es lo suficientemente buena para deducir la tercera ley de Kepler a partir de los puntos de datos.

La tercera ley de Kepler a partir de los datos de Ptolomeo

La idea crucial, obtenida por primera vez por Copérnico (ver su Commentariolus , escrito algún tiempo antes de 1514), fue que el modelo heliocéntrico del Sistema Solar permitía derivar los tamaños de las órbitas (en relación con las de la Tierra) a partir de los datos disponibles. observaciones. Sin esta idea, Kepler no habría conocido los tamaños de las órbitas de los planetas y no habría tenido los datos para deducir su tercera ley.

Para un planeta inferior, más cerca del Sol que la Tierra, el tamaño de su órbita en relación con la de la Tierra determina su mayor distancia angular del Sol (su elongación máxima) visto desde la Tierra. En términos del modelo geocéntrico utilizado en el Almagesto , el tamaño de la órbita corresponde al tamaño del epiciclo del planeta.

Para un planeta superior, más lejos del Sol que la Tierra, el tamaño de la órbita de la Tierra en relación con la del planeta determina el tamaño del bucle de oposición del planeta donde el planeta muestra un movimiento retrógrado aparente cerca de su oposición al Sol. En términos del modelo geocéntrico, el tamaño del epiciclo del planeta corresponde a uno sobre el tamaño de la órbita, porque el epiciclo del planeta es equivalente a la órbita de la Tierra.

Ptolomeo da los tamaños de los epiciclos como

  • Mercurio: 22;30 = 22,5 de 60 ( Almagest , IX 9, Toomer Edition)
  • Venus: 43 + 1/6 de 60 (X 2)
  • Marte: 39;30 = 39,5 de 60 (X 8)
  • Júpiter: 11;30 = 11,5 de 60 (XI 2)
  • Saturno: 6;30 = 6,5 de 60 (XI 6)

Los tamaños orbitales deducidos son, en relación con el de la Tierra:

  • Mercurio: 22,5/60 = 0,375
  • Venus: 43,17/60 = 0,7194
  • Tierra: 1
  • Marte: 60/39,5 = 1,5190
  • Júpiter: 60/11,5 = 5,2174
  • Saturno: 60/6,5 = 9,2308

El período orbital del planeta se deriva de su movimiento diario medio en longitud (para planetas superiores) o anomalía (para planetas inferiores). Ptolomeo da los siguientes movimientos medios diarios en anomalía (grados por día), es decir, movimiento a lo largo del epiciclo:

  • Mercurio: 3;6,24,6,59,35,50 = 3,106699 (IX 3)
  • Venus: 0;36,59,25,53,11,28 = 0,6165087 (IX 3)

y los siguientes movimientos medios diarios en longitud (grados por día), es decir, movimiento a lo largo del deferente:

  • Sol: 0;59,8,17,13,12,31 = 0,9856353 (III 1)
  • Marte: 0;31,26,36,53,51,33 = 0,5240597 (IX 3)
  • Júpiter: 0;4,59,14,26,46,31 = 0,08312244 (IX 3)
  • Saturno: 0;2,0,33,31,28,51 = 0,03348854 (IX 3)

Para los planetas inferiores, tenemos que sumar el movimiento del Sol en longitud al movimiento del planeta en anomalía para obtener su movimiento relativo a la esfera celeste. Los períodos orbitales deducidos en días y años son

  • Mercurio: 360/(3,106699 + 0,9856353) = 87,96935 → 0,2408492
  • Venus: 360/(0,6165087 + 0,9856353) = 224,6989 → 0,6151977
  • Tierra: 360/0,9856353 = 365,2467 → 1
  • Marte: 360/0,5240597 = 686,9446 → 1,880769
  • Júpiter: 3606/0,08312244 = 4330,961 → 11,85763
  • Saturno: 360/0,03348854 = 10749,95 → 29,43202

Estos tamaños y períodos orbitales se muestran en el gráfico.

Puede ser que los movimientos diarios promedio todavía deban corregirse por precesión (Ptolomeo dijo que funcionaba a una tasa de 1 grado cada 100 años), pero eso hace muy poca diferencia en el gráfico.

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