¿Cómo gana energía un objeto cuando entra en un campo potencial?

Supongamos que el planeta, masa$M$, y el objeto, masa$m$son los únicos objetos bajo consideración y no hay fuerzas externas actuando.

La fuerza que cada objeto ejerce sobre el otro es la fuerza gravitatoria$\dfrac{GMm}{R^2}$.
Notarás que las fuerzas se hacen cada vez más pequeñas a medida que$R$se hace más y más grande.

Si ambos objetos parten del reposo con una separación de$R_{\rm initial}$entonces la energía potencial gravitacional de este sistema de 2 objetos es$-\dfrac{GMm}{R_{\rm initial}}$que asume que su energía potencial gravitacional es cero cuando están "infinitamente" separados.

Si los objetos pueden moverse libremente, acelerarán uno hacia el otro bajo la influencia de la fuerza gravitacional que actúa sobre cada uno de ellos.
Esto significa que ambos objetos ganarán energía cinética e impulso.

Debido a que no hay fuerzas externas actuando, el momento total de los dos objetos debe ser cero porque los objetos comenzaron en reposo.
Aplicando la conservación de la cantidad de movimiento$Mv_{\rm M} + m v _{\rm m} =0$donde el$v'$s son las velocidades finales muestra que ambos objetos ganan energía cinética a medida que se acercan.
Obtienen esta energía cinética porque la energía potencial gravitacional del sistema (los dos objetos, no solo uno de los objetos) ha cambiado de$-\dfrac{GMm}{R_{\rm initial }}$a$-\dfrac{GMm}{R_{\rm final}}$.

Aplicando la ley de conservación de la energía.$0+0-\dfrac{GMm}{R_{\rm initial }} = \frac 12 M v^2_{\rm M} + \frac 12 mv_{\rm m}^2-\dfrac{GMm}{R_{\rm final}}$

Ahora bien, si un objeto es más masivo que el otro, es decir,$M\gg m$, entonces$v_{\rm M}\ll v_{\rm m}$y en una buena aproximación, el objeto más masivo gana mucha, mucha menos energía cinética que el objeto menos masivo.

La ecuación de conservación de la energía ahora se puede escribir como$\dfrac{GMm}{R_{\rm final}}-\dfrac{GMm}{R_{\rm initial }} = \frac 12 mv_{\rm m}^2$

La pérdida de energía potencial gravitacional es igual a la ganancia de energía cinética de la masa del objeto.$m$.

Entonces, no hay ganancia o pérdida de energía, sino que hay un cambio de energía de potencial gravitatorio a cinético.

La energía potencial en realidad no "viene" de ninguna parte. Una forma de verlo es reconocer que podemos agregar cualquier constante a nuestra energía potencial, pero la física no cambia. Entonces, supongo que uno podría decir que la energía potencial "proviene" de que una fuerza conservativa actúe sobre ella. Sin embargo, lo que es más importante son los cambios en la energía potencial.

Un cambio en la energía potencial "viene del" trabajo realizado por una fuerza conservativa. La familiar relación entre la obra$W$hecho por una fuerza conservativa como el cambio en la energía potencial$\Delta U$es dado por

$$W=-\Delta U$$ Pero tenga en cuenta que en la mecánica newtoniana estas cosas son en realidad sinónimos. En otras palabras, el cambio en la energía potencial es esencialmente una herramienta muy útil para hablar sobre el trabajo realizado por una fuerza conservativa. Puede simplemente hablar sobre el trabajo realizado por la fuerza conservativa de la misma manera que hablaría sobre el trabajo realizado por una fuerza no conservativa (como en el cambio en la energía cinética de un objeto es solo el trabajo neto realizado en ese objeto) . O bien, puede pensar en el cambio en la energía potencial, que estoy seguro de que sabe que es un concepto muy útil.

Quiero decir que el planeta no está ganando ni perdiendo energía (creo). Y, si tomo en cuenta que el objeto tiene un campo gravitatorio aunque sea muy débil, el planeta debería estar acelerando ligeramente hacia el objeto. Esto significa que el planeta también está ganando energía.

Técnicamente, la energía potencial es una propiedad del sistema objeto-planeta. Para la gravedad newtoniana, esto viene dado por

$$U=-\frac{GmM}{r}$$ dónde$m$y$M$son las masas del objeto y del planeta respectivamente, y$r$es la distancia entre ellos. Tiene razón en que ambos objetos acelerarán uno hacia el otro y, por lo tanto, la energía potencial del sistema disminuirá (a medida que aumenta la energía cinética del sistema).

En la física newtoniana, la "energía potencial" en ese caso es el trabajo de fuerzas de gravedad antiparalelas e iguales.$\vec F = G \frac{mM}{r^2}\hat r$que actúan tanto en el planeta como en la pelota, que como mencionó Aaron Stevens debería ser:

$$U = - \frac{GmM}{r}$$

Como está formulada la física newtoniana y dado que este trabajo se aplica con signo opuesto sobre ambos objetos, la energía total del sistema es cero. Entonces, la conservación de la energía aún continúa. Para el caso de la pelota, su energía acaba de cambiar de forma como también lo ha hecho para el planeta.

No caiga en la tentación de pensar que la pelota tiene energía extra . Su campo de gravedad interactuó con el campo de gravedad del planeta y esta energía orientada al sistema solo existe debido a eso.

Para ser honesto, esta no es una respuesta muy completa y ni siquiera me gusta escribirla. La teoría de campos y cómo los campos interactúan entre sí darían una respuesta completa, cómo el gravitón transporta energía a través de esta interacción, pero lamentablemente no soy el tipo que puede explicar esto. En resumen, debe tener en cuenta que los "campos", en cualquier sentido que quiera pensar en ellos, transportan energía por sí mismos.

Si desea una explicación de la relatividad general, no hay energía involucrada. La pelota tiene exactamente la misma energía,$E = m_{ball} c^2$y su aceleración hacia el planeta se debe solo a la geometría curva que crea el planeta a su alrededor con su enorme masa (en relación con la bola).