¿Sigues tratando de entender el potencial gravitatorio y la ecuación de Poisson?

Hace más o menos una semana hice una pregunta sobre el campo de potencial gravitacional

ϕ = − GRAMO metro r , r ≠ 0 ,
y cómo mostrar el laplaciano de ϕ es igual a cero para r ≠ 0 ? Eventualmente, (me tomó un tiempo) pude entender que

∇ ⋅ ∇ ϕ = GRAMO metro ( 2 X 2 − y 2 − z 2 + 2 y 2 − X 2 − z 2 + 2 z 2 − X 2 − y 2 ( X 2 + y 2 + z 2 ) 5 / 2 )   =   0 , r ≠ 0 ,
que fue una revelación. Pero ahora me pregunto por qué la ecuación de Poisson
∇ ⋅ ∇ ϕ = ∇ 2 ϕ = 4 π GRAMO ρ
no siempre es igual a cero también? Obviamente no es así, así que asumo que dentro de una masa el campo potencial gravitatorio no puede ser dado por
ϕ = − GRAMO metro r , r ≠ 0.
¿Es eso correcto? Además, ¿existe una fórmula comparablemente fácil para el potencial gravitacional dentro de una masa o varía (¿horriblemente?) Dependiendo de la forma y la densidad de la masa?

Respuestas (3)

Sí. Dentro de la masa (esférica uniforme), IIRC ϕ = − GRAMO METRO 2 R 3 ( 3 R 2 − r 2 ) . O algo así. Entonces,

ϕ = { − GRAMO METRO r , r > R − GRAMO METRO 2 R 3 ( 3 R 2 − r 2 ) , r < R
el laplaciano ∇ 2 ϕ debiera ser
4 π GRAMO ρ = ∇ 2 ϕ = { 0 , r > R 4 π GRAMO ρ 0 r < R
Dónde ρ es el campo de densidad escalar , y ρ 0 = METRO 4 3 π R 3 es la densidad de la pelota.

Así que esto tiene sentido. Recuerda que la densidad de masa es un campo al igual que el potencial gravitatorio, por lo que calcularlo en un punto del espacio no significa que lo hayas hecho en todos los puntos del espacio. El laplaciano de una discontinua ϕ daré ρ sólo dentro de los límites de la continuidad. Tienes que dividir la función.

Solo una nota: incluso para una partícula puntual, ρ no es idénticamente cero en todas partes. Es infinito en el origen (verifique su fórmula nuevamente), por lo que básicamente obtiene un dirac d función.

Para una masa no esférica/no uniforme no existe tal fórmula. Tienes que integrarlo tú mismo.

Gracias. ¿Qué significa IIRC? Acabo de encontrar esto en Wikipedia para el interior de un cuerpo esférico uniforme
ϕ = 2 3 π GRAMO ρ ( r 2 − 3 R 2 )
que (yippee) logré cambiar en tu ecuación. ¿Significa todo esto que la ecuación para el campo gravitacional
gramo = − ∇ ϕ
solo es cierto para puntos fuera de la masa, es decir, para r > R ?
@Peter4075 IIRC=Si recuerdo correctamente. No estaba muy seguro de si la ecuación era correcta y no quería volver a derivarla. gramo = − ∇ ϕ está bien. olvidaste eso gramo también es un campo, y debes aplicar ∇ en cada región separada de continuidad. Como tal, dentro de una esfera de densidad uniforme, gramo = GRAMO METRO r R 3 (Esto proviene del teorema de Shell, por lo que en un punto dentro de la esfera podemos eliminar con seguridad el caparazón fuera de ella). si aplicas ∇ hacia r < R expresión para ϕ , debería funcionar bien.
Gracias, eso tiene sentido ahora. Traté de buscar IIRC pero por alguna razón busqué LLRC y terminé con Low Level Radiation Campaign, Lessons Learned and Reconciliation Committee o Lincolnshire Land Rover Club. D'oh!
@peter4075 :p Aunque me parece extraño que conozcas la ecuación de Laplace/Poisson y el uso de ∇ sin saber acerca de los campos dentro de un cuerpo y el teorema del caparazón. Me enseñaron todo esto primero (probablemente me enseñarán sobre ∇ & co mucho más tarde). ¿O eres autodidacta?
autodidacta me temo, y se que se nota. La última vez que estudié física y matemáticas fue hace muchos años en la escuela cuando hice mis exámenes finales (aquí en el Reino Unido). He estado tratando de aprender GTR por mí mismo durante el último año, comenzando con las conferencias gratuitas en línea de Leonard Susskind. Es duro pero divertido.
@Peter4075 ¡Hasta yo soy autodidacta! (excepto por lo básico, esto lo teníamos en la escuela secundaria) Incluso voy a comenzar GTR & c (tengo un conocimiento irregular del cajero automático), pero no tengo tiempo en este momento; Comenzaré a enseñarme las cosas divertidas después de unos meses. =D
Una pregunta a Manishearth - g(r)=−∇ϕ, entonces si ϕ=−Gm/r ---> gramo ( r ) = − GRAMO metro / r 2 Quiero decir, ¿hay un signo MENOS?

La pregunta ha sido respondida, así que solo como comentario (que es demasiado largo para un comentario):

En coordenadas esféricas , el operador de Laplace parece

Δ F = 1 r 2 ∂ ∂ r ( r 2 ∂ F ∂ r ) + 1 r 2 pecado ⁡ φ ∂ ∂ φ ( pecado ⁡ φ ∂ F ∂ φ ) + 1 r 2 pecado 2 ⁡ φ ∂ 2 F ∂ θ 2 ,

por lo que el cálculo de ϕ = − GRAMO metro r ,   r ≠ 0 , que solo depende de r se reduce a calcular

− GRAMO   metro   1 r 2 ∂ ∂ r ( r 2 ∂ ∂ r 1 r ) .

Gracias. Ten paciencia conmigo si hago esto un paso a la vez. Entonces
r 2 ( ∂ ∂ r ( 1 r ) ) = − 1
∂ ∂ r ( − 1 ) = 0
Por lo tanto ∇ 2 ϕ = 0 que es lo que debe ser. Finalmente, ¿se deshizo del segundo y tercer término de su primera ecuación al suponer θ = ϕ = 0 ?
@ Peter4075: Sí. Y si tienes una función X 2 pecado ⁡ ( z ) , entonces ∂ ∂ y ( X 2 pecado ⁡ ( z ) ) = 0 . La función 1 r solo depende de la coordenada radial, por lo que las derivadas angulares son cero.
@Peter4075: El mensaje a aprender es expresar el problema para que uses las simetrías. La transformación de tensores (incluidos los vectores) y operadores diferenciales (incluido el laplaciano) en un sistema de coordenadas disponible se puede automatizar, por ejemplo, con Mathematica. Esta página contiene el gradiente en los sistemas de uso frecuente y también encontrará otras listas en wikipedia. Por ejemplo , esto , especialmente si entras en relatividad general en un punto.

Por un lado, para un número finito de cargas puntuales, la distribución de carga ρ es una combinación lineal finita de distribuciones delta de Dirac 3d . Por otro lado, el laplaciano de un 1 / r el potencial realmente no es idénticamente cero, sino también proporcional a una distribución delta de Dirac 3d. Así que no hay inconsistencia.

gracias, pero esto está muy por encima de mi cabeza. Confieso que no tengo idea de lo que es una distribución delta de Dirac 3d.
Intentaré volver más tarde y explicar más si tengo tiempo.
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