¿Cómo explicar la relajación spin-spin en MRI/NMR en términos de mecánica cuántica?

En general, la interacción de los estados de magnetización de protones con átomos vecinos permite transiciones de estado. Si podemos considerarlas como pequeñas perturbaciones, entonces, en términos de la teoría de la perturbación dependiente del tiempo, se da la tasa de probabilidad de transición del estado i al f,

$$\begin{equation} W_{fi} = \frac{2\pi}{\hbar} |<f|V|i>|^{2} \delta(E_{f}-E_{i}) \end{equation}$$ Para conservar energía si la transición de $m=-1/2$a $m=+1/2$sucede, debería ser seguido por otro protón de $m=+1/2$a $m=-1/2$. Luego tome cualquiera de los dos estados $a,b$con estado b tiene mayor energía. Denote una transición de energía ascendente por $a-$ $\rightarrow$ $b+$y transición descendente por $b+$ $\rightarrow$ $a-$.

Si$N_{+}$es el número inicial de vueltas con$m=+1/2$entonces,

$$\begin{equation} \frac{dN_{+}}{dt} = W_{b+a-}N_{-}n_{a}-W_{a-b+}N_{+}n_{b} \end{equation}$$

dónde$n_{b}$es el número inicial de estados con mayor energía y$n_{a}$menor energía, relacionada por el factor de Boltzmann,

$$\begin{equation} \frac{n_{a}}{n_{a}} = e^{-\hbar B_{0} \gamma /kT} \end{equation}$$

Para nuestro caso, las transiciones de probabilidad son iguales, lo cual es el caso en$1^{st}$o teoría de la perturbación,

$$\begin{equation} W_{b+a-} = W_{a-b+} = W \end{equation}$$

El número total de estados es fijo,

$$\begin{equation} N = N_{+}+N_{-} \end{equation}$$ y escribiendo, $$\begin{equation} N_{\pm} = \frac{N \pm \Delta N}{2} \end{equation}$$ Ahora combinando las ecuaciones anteriores, $$\begin{equation} \frac{d \Delta N}{dt} = WN(n_{a}-n_{b})-W\Delta N(n_{a}-n_{b}) \end{equation}$$ Queremos en el equilibrio $$\begin{equation} \frac{d \Delta N}{dt} = 0 \end{equation}$$ Pero esto implica $$\begin{equation} \Delta N_{0} = \frac{n_{a}-n_{b}}{n_{a}+n_{b}}N \end{equation}$$ Definir $W(n_{a}+n_{b})$como $\frac{1}{T_{1}}$constante de tiempo de relajación longitudinal, entonces obtenemos

$$\begin{equation} \frac{d \Delta N}{dt} = \frac{\Delta N_{0} -\Delta N}{T_{1}} \end{equation}$$

Finalmente, tome el promedio sobre el volumen y obtendrá algo similar a

$$\begin{equation} \frac{d M_{z}}{dt} = \frac{M_{0}-M_{z}}{T_{1}} \end{equation}$$ que es la ecuación de relajación de la componente longitudinal del espín.