¿Cómo escribir la ecuación de una línea de campo de un campo electrostático?

Las líneas de campo eléctrico se definen como tangentes en todos los puntos al campo eléctrico en ese punto.

Por lo tanto, llamar$\boldsymbol r(s)$la "trayectoria" de una línea de campo, con$s$un parámetro que nos dice en qué punto de la línea estamos,$\boldsymbol r(s)$simplemente sigue la ecuación

$$\frac{d \boldsymbol r(s)}{d s} = \boldsymbol E(\boldsymbol r(s)). \tag 1$$

En su caso de ejemplo, el campo eléctrico está dado por

$$\boldsymbol E(\boldsymbol r) = \frac{q}{4\pi \epsilon_0} \left[ \left( \frac{x}{\left[ x^2 + y^2 \right]^{3/2}} + \frac{R-x}{\left[ (x-R)^2 + y^2 \right]^{3/2}} \right) \hat{\boldsymbol x} \\ + \left( \frac{y}{\left[ x^2 + y^2 \right]^{3/2}} - \frac{y}{\left[ (x-R)^2 + y^2 \right]^{3/2}} \right) \hat{\boldsymbol y} \right],$$ haciendo que la solución del sistema de ecuaciones diferenciales (1) no sea trivial incluso en este caso simple. Por mi parte, no estoy seguro de si esto se puede resolver analíticamente (probé Mathematica pero fue en vano).

Si está interesado en verificar numéricamente que esta ecuación es verdadera y ver cómo se ve la curva real, y sabe cómo usar Wolfram Mathematica, puede probar el siguiente código:

Manipulate[
 With[{
   sol = NDSolve[
     {
      x'[s] ==
       A (x[s]/(x[s]^2 + y[s]^2)^(3/2) + (
            R - x[s])/((x[s] - R)^2 + y[s]^2)^(3/2)),
      y'[s] ==
       A (y[s]/(x[s]^2 + y[s]^2)^(3/2) -
          y[s]/((x[s] - R)^2 + y[s]^2)^(3/2)),
      x[0] == 0.01,
      y[0] == 0.01 Tan[\[Theta]],
      WhenEvent[
       Abs[x'[s]] > 10^6, "StopIntegration"
       ]
      },
     {x, y}, {s, 0, 20}
     ]
   },
  ParametricPlot[
   {x[s], y[s]} /. sol,
   {s, 0, sol[[1, 1, 2, 1, 1, 2]]},
   PlotRange -> {{0, 2}, {-1, 1}}
   ]
  ],
 {{A, 0.1}, 0.001, 1, 0.01, Appearance -> "Labeled"},
 {{R, 2}, 0.001, 4, 0.001, Appearance -> "Labeled"},
 {{\[Theta], Pi/4}, -Pi/2, Pi/2, 0.001, Appearance -> "Labeled"}
 ]

Podemos encontrar la ecuación para la línea que forma un ángulo theta con carga positiva a través de estos pasos. He tratado de dejar claro cada paso.

Deja un cargo$+q$estar en el punto$(a, 0)$y un cargo$-q$estar en el punto$(-a, 0)$. Entonces el campo eléctrico en un punto$(x, y)$es

$$\begin{equation}\tag{e1}\label{e1} \vec{E} = q\vec{r}\left(\frac{1}{r_1^3} - \frac{1}{r_2^3}\right) - qa\hat{e}_x\left(\frac{1}{r_1^3} + \frac{1}{r_2^3}\right), \end{equation}$$ dónde$\vec{r} = x\hat{e}_x + y\hat{e}_y$,$\vec{r}_1 = \vec{r} + a\hat{e}_x$y$\vec{r}_2 = \vec{r} - a\hat{e}_x$. La ecuación de las líneas de fuerza es $$\begin{equation}\tag{e2}\label{e2} \frac{\partial y}{\partial x} = \frac{y}{x + a\frac{r_2^3 + r_1^3}{r_2^3 - r_1^3}}. \end{equation}$$ Ahora resolveremos la ecuación $\eqref{e2}$. Primero lo reordenamos como $$\begin{equation} \left((r_2^3 - r_1^3)x + a(r_2^3 + r_1^3)\right)\frac{\partial y}{\partial x} = (r_2^3 - r_1^3)y. \end{equation}$$ Multiplicando ambos lados por$y/(r_1^3 r_2^3)$, $$\begin{equation} \left(\frac{x + a}{r_1^3} - \frac{x - a}{r_2^3}\right)y\frac{\partial y}{\partial x} = \frac{y^2}{r_1^3} - \frac{y^2}{r_2^3}. \end{equation}$$ sustituimos$y^2 = r_1^2 - (x + a)^2$en el primer factor del lado derecho y$y^2 = r_2^2 - (x - a)^2$en el segundo factor para obtener $$\begin{equation} \left(\frac{x + a}{r_1^3} - \frac{x - a}{r_2^3}\right)y\frac{\partial y}{\partial x} = \frac{1}{r_1} - \frac{(x+a)^2}{r_1^3} - \frac{1}{r_2} + \frac{(x-a)^2}{r_2^3} \end{equation}$$ o, $$\begin{equation}\tag{e3}\label{e3} \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} - \frac{(x+a)}{r_1^3}\left((x + a) + y\frac{\partial y}{\partial x}\right) + \frac{(x-a)}{r_2^3}\left((x - a) + y\frac{\partial y}{\partial x}\right) = 0. \end{equation}$$ Usamos las derivadas de$r_1$y$r_2$con respecto a$x$ $$\begin{eqnarray*} \frac{\partial r_1}{\partial x} &=& \frac{x + a}{r_1} + \frac{y}{r_1}\frac{\partial y}{\partial x} \\ \frac{\partial r_2}{\partial x} &=& \frac{x - a}{r_2} + \frac{y}{r_2}\frac{\partial y}{\partial x} \end{eqnarray*}$$ en ecuacion $\eqref{e3}$Llegar $$\begin{equation} \frac{1}{r_1} - \frac{x+a}{r_1^2}\frac{\partial r_1}{\partial x} - \frac{1}{r_2} + \frac{x-a}{r_2}\frac{\partial r_2}{\partial x} = 0, \end{equation}$$ o $$\begin{equation} \frac{d}{dx}\left(\frac{x + a}{r_1}\right) - \frac{d}{dx}\left(\frac{x + a}{r_1}\right) = 0, \end{equation}$$ de la que fácilmente obtenemos $$\begin{equation}\tag{e4}\label{e4} \frac{x + a}{r_1} - \frac{x - a}{r_2} = C, \end{equation}$$ dónde$C$es una constante, como la solución de la ecuación diferencial (e2). Esta es también la solución dada en el artículo 63 de 'La teoría matemática de la electricidad y el magnetismo' de Sir James Jeans (quinta edición).

Te daré el comienzo. Tienes que terminar el trabajo.

Comience con una comprensión de cómo se construyen las líneas. Las líneas son caminos a través de un campo vectorial que son la fuerza eléctrica resultante de las partículas (el número no importa) en el sistema. Luego se conecta entre las cargas comenzando a una pequeña distancia de una de las partículas y moviéndose una pequeña cantidad en la dirección del campo eléctrico y luego dando pasos sucesivos. Eventualmente llegará a su límite de cálculo oa otra partícula. Las ecuaciones se pueden derivar con este método matemático, pero habrá algunos errores que variarán con el tamaño del paso que estés dando.

Pero si tiene más habilidades matemáticas, puede calcular el campo vectorial y calcular el espacio geométrico diferencial asociado con él. Luego, las ecuaciones se pueden calcular directamente usando la ecuación geodésica a través de ese espacio curvo. Ese método arrojaría un resultado más preciso, pero sería divertido calcularlo.