¿Cómo es posible la tunelización cuántica?

El valor calculado instantáneamente para la energía cinética parecería ser negativo, como usted propone. Sin embargo, la razón de la tunelización cuántica tiene que ver con las relaciones de incertidumbre de Heisenberg. Puede encontrar una partícula en una región clásicamente prohibida, pero es mucho menos probable que la encuentre aquí. El período de tiempo de cualquier desviación de esta condición de conservación de energía está limitado por la desviación de energía, de modo que

$$\begin{equation} \Delta E \Delta t \ge \hbar/2. \end{equation}$$ Cuanto mayor sea la violación de energía aparente, más fugaz será el evento. El principio de incertidumbre esencialmente permite que el sistema tenga momentáneamente suficiente energía para que la partícula esté en la región prohibida, con la condición de que no lo haga por mucho tiempo. (Esta rareza también es responsable del efecto Casimir).

En mecánica cuántica tienes que tener cuidado con lo que quieres decir con 'la energía'. En QM la energía se calcula usando el operador hamiltoniano$\hat H=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+U(x)$. Ingenuamente, esperaría poder aplicarlo a las funciones de onda.$\hat H\psi(x)$y dondequiera que esto le dé un número mayor, la energía es alta. Pero la única forma de calcular la energía que tiene sentido es calcular el valor esperado del hamiltoniano.$\langle \hat H\rangle=\int \text{d}x\ \psi^*(x)\hat H\psi(x)$. Para este valor esperado, no puede simplemente mirar la energía en un punto, debe considerar todo el espacio.

Lo que intentas calcular es la energía en un punto específico.$x$. Esto solo tiene sentido cuando se habla de estados propios de energía. o estados$\psi(x)$que satisfacen

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi(x)+U(x)\psi(x)=E\psi(x)$$ Esto significa que se puede hablar de 'la energía' sin confusión: la energía viene dada por$E$y de la misma manera$\langle\hat H\rangle$=E. Si echas un vistazo a esta última ecuación, verás que hay dos regiones:$E>U(x)$, la región clásicamente permitida, y$E<U(x)$, la región clásicamente prohibida. Si lo resuelve, encontrará que en la región permitida la función de onda se curva hacia el eje cero como una onda sinusoidal y en la región prohibida la función de onda se curva alejándose del eje cero como una función exponencial.

Estas dos regiones solo le dicen de qué manera se curva la función de onda. Ambos tienen la misma energía ya que son parte del mismo estado propio de energía. Lo mejor que puedes hacer es decir que la energía cinética$\hat T\psi(x)=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi(x)$es negativo en la región prohibida pero, de nuevo, esta no es realmente una cantidad útil porque, en última instancia, está interesado en los valores esperados$\langle\hat T\rangle$

Piense en el estado propio único, la energía, cómo cambia el estado con el tiempo (bueno, por el factor de$i\hbar$) pero nunca dice que la energía negativa no está permitida. De hecho, la energía negativa significa crecimiento y decaimiento para el estado propio de energía única y la oscilación de onda media de energía positiva. Dentro de la pared, crecerá o se descompondrá porque la energía es negativa.

La energía siempre describe cómo evolucionan las cosas (no importa si es QM o clásica), pero QM dice que es una evolución de la función de onda y podría ser negativa al igual que podría ser positiva. No hay sesgo en QM. Luego simplemente sumas todos los estados propios y obtienes la función final.

El argumento de la pregunta es el siguiente:

• Hay una probabilidad finita de encontrar la partícula dentro de la barrera.
• Si la partícula está dentro de la barrera su energía es negativa
• Los estados con energía negativa (cinética) son imposibles

La aparente paradoja aquí se debe a la mezcla de conceptos clásicos y cuánticos. Notemos primero que no hay estado dentro de la barrera . El estado de una partícula en este caso una onda dispersa, que se extiende hasta el infinito. De hecho, la probabilidad de que la medición encuentre una partícula dentro de la barrera es distinta de cero. Por otro lado, en la física clásica, el estado se identifica con una ubicación y un momento específicos, es decir, la posición medida de la partícula es su estado. Una vez que localizamos una partícula cuántica en un lugar específico, ya no está en el estado de dispersión y tiene un momento y una energía indeterminados.

En segundo lugar, consideremos qué significa la conservación de la energía en la mecánica cuántica.

• Podríamos ver como un hecho que una partícula en un estado propio de energía permanece para siempre en este estado propio. Pero esto no es relevante aquí, ya que realizamos una medición, colapsando la función de onda a un estado propio de posición.
• Se puede ver desde el punto de vista de la relación de incertidumbre, como se explica en la respuesta de KDN.
• Finalmente, puede verse desde el punto de vista del principio de correspondencia y el teorema de Ehrenfest, donde será conservación de la energía promedio en el sentido mecánico cuántico: $$\langle\frac{p^2}{2m}\rangle + \langle U(x)\rangle \neq \frac{\langle p\rangle^2}{2m} + U(\langle x\rangle),$$ donde a la izquierda tenemos la energía promedio en sentido QM, mientras que a la derecha está su estimación clásica implícita en el argumento de la pregunta. Estos no son lo mismo.

Para resumir: la mecánica cuántica parece paradójica solo mientras uno confíe en la intuición, basada en la física clásica.

Aparentemente, se puede extraer energía adicional del universo durante un período de tiempo muy corto, lo que corresponde a la relación de incertidumbre dada por

$$\Delta E\times \Delta t\ge\frac{h}{4\pi}$$ En esto se basa la electrodinámica cuántica (la teoría cuántica que explica la fuerza electrostática entre cargas). Considere esto Un electrón A está presente en el espacio, otro electrón B se coloca en el campo eléctrico de los primeros electrones. Ahora, este electrón A liberaría un fotón (aparentemente tomando prestada la energía del universo), el otro electrón B lo absorbería y enviaría otro fotón de regreso al electrón A y, por lo tanto, experimentaría la presencia del electrón A allí (fuerza) a través de los fotones. (el primer electrón también experimentaría la presencia del electrón B de manera similar). Esta energía prestada por el electrón A para su liberación de fotones debe ser devuelta dentro de un intervalo$\Delta t$, (por el fotón de retorno que absorbe del electrón B). Así es como los electrones sienten la presencia de los demás. Estos fotones se llaman virtuales porque no podemos detectarlos. Es posible que esto no sea literalmente físicamente cierto, pero la teoría implica violar la ley de conservación de la energía a través del principio de incertidumbre de Heisenberg.

Esto es lo que hizo Erwin Schrödinger:

    Imagine you put a cat in a box, and leave it in there for a day. Now imagine 
you are going to take the cat out, but before you open the box, you don't know if 
it is dead or alive. So in that moment, the cat exists in two states at once, both
dead *and* alive. Therefore the cat is now in two states, in two places, and in two
forms of reality. This is known as quantum tunneling, as reality diverges into two 
types: one where the cat is dead and one where the cat is alive. This can apply to
particles and quantum fields, and allow for a gap to open in spacetime.

¿Tiene esto sentido ahora?