¿Cómo es el par con respecto a dos puntos de referencia cualesquiera (en el sistema) cuando un cuerpo está en equilibrio de traslación del mismo valor?

Question

¿Cómo es el par con respecto a dos puntos de referencia cualesquiera (en el sistema) cuando un cuerpo está en equilibrio de traslación del mismo valor?

Compañero

Esto es lo que dice el libro de texto

La condición de equilibrio para los pares es verdadera para cualquier elección del eje sobre el cual se calculan los pares. Para probar esta afirmación, consideramos un cuerpo rígido sobre el que actúan muchas fuerzas. Relativo al origen O, fuerza $\overrightarrow{F_1}$ se aplica en el punto situado en $\overrightarrow{r_1}$ , fuerza $\overrightarrow{F_2}$ en $\overrightarrow{r_2}$ etcétera. Por lo tanto, el momento de torsión neto alrededor de un eje que pasa por O es

$\begin{aligned} \overrightarrow{\boldsymbol{\tau}}_{O} &=\overrightarrow{\boldsymbol{\tau}}_{1}+\overrightarrow{\boldsymbol{\tau}}_{2}+\cdots+\overrightarrow{\boldsymbol{\tau}}_{N} \\ &=\overrightarrow{\mathbf{r}}_{1} \times \overrightarrow{\mathbf{F}}_{1}+\overrightarrow{\mathbf{r}}_{2} \times \overrightarrow{\mathbf{F}}_{2}+\cdots+\overrightarrow{\mathbf{r}}_{N} \times \overrightarrow{\mathbf{F}}_{N} \end{aligned}$

Supongamos que un punto P está ubicado en el desplazamiento con respecto a O. El punto de aplicación de $\overrightarrow{F_1}$ con respecto a P, es $(\overrightarrow{r_1} - \overrightarrow{r_P})$ . El momento de torsión con respecto a P es

$\begin{aligned} \overrightarrow{\boldsymbol{\tau}}_{P}=&\left(\overrightarrow{\mathbf{r}}_{1}-\overrightarrow{\mathbf{r}}_{P}\right) \times \overrightarrow{\mathbf{F}}_{1}+\left(\overrightarrow{\mathbf{r}}_{2}-\overrightarrow{\mathbf{r}}_{P}\right) \times \overrightarrow{\mathbf{F}}_{2} \\ &+\cdots+\left(\overrightarrow{\mathbf{r}}_{N}-\overrightarrow{\mathbf{r}}_{P}\right) \times \overrightarrow{\mathbf{F}}_{N} \\=&\left[\overrightarrow{\mathbf{r}}_{1} \times \overrightarrow{\mathbf{F}}_{1}+\overrightarrow{\mathbf{r}}_{2} \times \overrightarrow{\mathbf{F}}_{2}+\cdots+\overrightarrow{\mathbf{r}}_{N} \times \overrightarrow{\mathbf{F}}_{N}\right] \\ &-\left[\overrightarrow{\mathbf{r}}_{P} \times \overrightarrow{\mathbf{F}}_{1}+\overrightarrow{\mathbf{r}}_{P} \times \overrightarrow{\mathbf{F}}_{2}+\cdots+\overrightarrow{\mathbf{r}}_{P} \times \overline{\mathbf{F}}_{N}\right] \end{aligned}$

El primer grupo de términos entre paréntesis da $\tau_O$ . Podemos reescribir el segundo grupo eliminando el factor constante de $\overrightarrow{r_P}$

$\begin{aligned} \overrightarrow{\boldsymbol{\tau}}_{P} &=\overrightarrow{\boldsymbol{\tau}}_{O}-\left[\overrightarrow{\mathbf{r}}_{P} \times\left(\overrightarrow{\mathbf{F}}_{1}+\overrightarrow{\mathbf{F}}_{2}+\cdots+\overrightarrow{\mathbf{F}}_{N}\right)\right] \\ &=\overrightarrow{\boldsymbol{\tau}}_{O}-\left[\overrightarrow{\mathbf{r}}_{P} \times\left(\sum \overrightarrow{\mathbf{F}}_{\mathrm{ext}}\right)\right] \\ &=\overrightarrow{\boldsymbol{\tau}}_{O} \end{aligned}$

donde damos el último paso porque $\sum \overrightarrow{F_{ext}}=0$ para un cuerpo en equilibrio de traslación. Por lo tanto, el momento de torsión sobre dos puntos cualquiera tiene el mismo valor cuando el cuerpo está en equilibrio de traslación.

¿Cuál es el significado físico de esto? ¿Cómo aplicamos esto en las preguntas? Un ejemplo también ayudará, porque tengo problemas para visualizar esto.

(fuente: Physics by Halliday, Resnick, Krane; 5th edition; Pg 188, Rotational Dynamics)

Respuestas (2)

¿Cómo es el par con respecto a dos puntos de referencia cualesquiera (en el sistema) cuando un cuerpo está en equilibrio de traslación del mismo valor?

Bhowmik profundo · Answer 1

El enunciado simplemente significa que el momento de torsión neto de todas las fuerzas que actúan sobre un objeto en equilibrio de traslación (es decir, la resultante de todas las fuerzas sobre el objeto es cero o $\sum\vec F_{ext}=0$ ) es el mismo independientemente del eje elegido.

Esta afirmación se puede visualizar mejor si consideramos dos fuerzas iguales y opuestas (digamos $F_1$ ) actuando sobre una varilla uniforme como se muestra a continuación:

Consideremos el centro de masa de la barra (en el punto medio) como el origen $O$ y la esquina izquierda de la varilla como el punto $P$ . Como las fuerzas que actúan sobre la barra son iguales y opuestas, como se muestra en las figuras, la fuerza neta que actúa sobre la barra es cero y la barra está en equilibrio traslacional. Ahora, el momento de torsión neto sobre el origen $O$ será:-

| {\vec{τ}}_{O} | = F_{1} {yo}_{1} + F_{1} {yo}_{2} = F_{1} ({yo}_{1} + {yo}_{2})

$\vert\vec \tau_O\vert = F_1l_1 + F_1l_2 = F_1(l_1+l_2)$ ya que el torque de las dos fuerzas produce rotación en la misma dirección. La dirección de

{\vec{τ}}_{O}

$\vec \tau_O$ está en el plano del papel (¡o la pantalla!). Ahora,

de la figura de arriba, el torque sobre el punto $P$ Se puede escribir como:-

| {\vec{τ}}_{PAG} | = F_{1} (yo / 2 + {yo}_{2}) - F_{1} (yo / 2 - {yo}_{1})

$\vert\vec \tau_P\vert = F_1(l/2+l_2) - F_1(l/2-l_1)$ (dado que el torque de las dos fuerzas produce rotación en direcciones opuestas)

\Rightarrow | {\vec{τ}}_{PAG} | = F_{1} (yo / 2 + {yo}_{2} - yo / 2 + {yo}_{1})

$\Rightarrow\vert\vec \tau_P\vert = F_1 (l/2+l_2-l/2+l_1)$

\Rightarrow | {\vec{τ}}_{PAG} | = F_{1} ({yo}_{2} + {yo}_{1}) = | {\vec{τ}}_{O} |

$\Rightarrow\vert\vec \tau_P\vert = F_1 (l_2+l_1) = \vert\vec \tau_O\vert$

\Rightarrow | {\vec{τ}}_{PAG} | = | {\vec{τ}}_{O} |

$\Rightarrow\vert\vec \tau_P\vert = \vert\vec \tau_O\vert$ Además, dado que el momento de torsión producido por la fuerza hacia la derecha es mayor que el producido por la fuerza hacia la izquierda alrededor de

P

$P$ , la dirección de

{\vec{τ}}_{P}

$\vec \tau_P$ también está en el plano del papel o la pantalla.

Por lo tanto, $\vec \tau_O = \vec \tau_P$ como se indica en el comunicado. También podemos visualizar esta afirmación cuando consideramos un objeto en reposo. En tal caso, el objeto está en equilibrio tanto de traslación como de rotación. El par sobre cualquier eje sigue siendo cero, lo que nuevamente verifica esta afirmación de que el par es constante independientemente de la elección del eje en el equilibrio de traslación.

Espero eso ayude.

Juan Alexiou · Answer 2

El par equiponte entre dos puntos A y B se define como

\begin{matrix} (1) & τ_{B} = τ_{A} + (r_{A} - r_{B}) \times F \end{matrix}

$\boldsymbol{\tau}_B = \boldsymbol{\tau}_A + (\boldsymbol{r}_A-\boldsymbol{r}_B)\times \boldsymbol{F} \tag{1}$

Ese es el par sumado en B en función del par sumado en A en presencia de una fuerza neta. Si la fuerza neta es cero $\boldsymbol{F}=0$ , entonces

\begin{matrix} (2) & τ_{B} = τ_{A} \end{matrix}

$\boldsymbol{\tau}_B = \boldsymbol{\tau}_A \tag{2}$ o se miden (suman) los mismos componentes de torque sin importar la ubicación. Esta es una situación de par puro.

En estática, si requerimos que la fuerza neta sea cero $\boldsymbol{F}=0$ , entonces es suficiente que el par medido en cualquier punto también sea cero. Esto significa que será cero si se suma a cualquier otro punto también.

Pero este no es el caso en la dinámica. Aquí, los componentes de torsión generalmente se suman alrededor del centro de masa, pero en general tienen componentes conocidos en una ubicación diferente, como a lo largo de una articulación de bisagra. En este caso

NOTA: Hay que tener cuidado con las palabras cuando se trata de torque. Aplicas una fuerza y provoca un campo de torsión que mide diferentes valores en diferentes ubicaciones. No aplica torque en ningún lugar, pero el torque es el resultado de la situación de carga. En el caso de un par de fuerzas (fuerzas opuestas iguales), el campo de torsión resultante tiene el mismo valor en todas partes. Esta es nuevamente la situación de par puro.

Aquí hay una analogía donde una rotación hace que cada partícula en el cuerpo mida una velocidad diferente. Incluso la ecuación para moverse de un punto a otro para medir la velocidad es similar a (1)

\begin{matrix} (3) & v_{B} = v_{A} + (r_{A} - r_{B}) \times ω \end{matrix}

$\boldsymbol{v}_B = \boldsymbol{v}_A + (\boldsymbol{r}_A-\boldsymbol{r}_B)\times \boldsymbol{\omega} \tag{3}$

Y el caso del momento de torsión puro (fuerza cero) es análogo al cuerpo que se traslada puramente (rotación cero) y todos los puntos se mueven con la misma velocidad.

Una nota final aquí es la interacción entre los movimientos y la carga.

En el caso de fuerza neta cero y torque puro, un cuerpo rotará alrededor del centro de masa.
En el caso de una fuerza a través del centro de masa, un cuerpo se trasladará puramente.

Estas dos situaciones son dos lados de la misma historia cuando se trata de la dinámica del cuerpo rígido.

¿Cómo es el par con respecto a dos puntos de referencia cualesquiera (en el sistema) cuando un cuerpo está en equilibrio de traslación del mismo valor?

Compañero

Respuestas (2)

Bhowmik profundo

Juan Alexiou

¿Quién nos dijo cómo medir el torque?

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