¿Por qué existe Torque?

Entonces @lemon dio una buena explicación en los comentarios que me satisface la pregunta. Si tienes más para contribuir por favor hazlo.

Si está girando un cuerpo (aplicando un par de torsión), está haciendo un trabajo para girarlo en un ángulo. Se necesitará la misma cantidad de trabajo para cubrir ese ángulo sin importar qué. A mayor distancia del eje el arco es mayor, hay más distancia para cubrir el mismo ángulo. Entonces, si el trabajo requerido es el mismo pero se aplica a una distancia mayor, necesitará menos fuerza.

El brazo de momento afecta la fuerza en un par porque un brazo de momento, un radio o una distancia perpendicular más grande significa más distancia para cubrir el mismo ángulo de rotación.

Wow, esta es en realidad una pregunta profunda, que merece una respuesta profunda.

La forma en que interpreto la mecánica newtoniana es que el par, al igual que la velocidad lineal, es puramente el resultado de algo que sucede a distancia . Es decir, una fuerza o una rotación. De hecho, para mí las fuerzas y las rotaciones son fundamentales para la descripción de la mecánica de los cuerpos rígidos, y las torsiones y las velocidades son secundarias.

Esto es lo que necesita para describir completamente la carga en un cuerpo rígido:

1. magnitud de la fuerza,$F$
2. dirección de la fuerza,$\vec{e}$
3. Fuerza (eje) Ubicación$\vec{r}$ o Torque en el origen$\vec{\tau}$.

Y aquí están las propiedades derivadas de esta información:

1. vector de fuerza,$\vec{F} = F \vec{e}$
2. Torque en el origen,$\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ o Fuerza (eje) Ubicación$\vec{r} = \frac{\vec{F} \times \vec{\tau}}{F^2}$
3. Paso de fuerza (relación lineal a angular)$h = \frac{\vec{F} \cdot \vec{\tau}}{F^2}$

$$\boldsymbol{f} = \begin{Bmatrix} \vec{F} \\ \vec{\tau} \end{Bmatrix} = F \begin{Bmatrix} \vec{e} \\ \vec{r} \times \vec{e} + h \vec{e} \end{Bmatrix}$$

Análogamente para el movimiento de un cuerpo rígido:

1. Magnitud de rotación,$\omega$
2. dirección de rotación,$\vec{e}$
3. Rotación (eje) Ubicación$\vec{r}$ o Velocidad en el origen$\vec{v}$.

Y aquí están las propiedades derivadas de esta información:

1. vector de rotación,$\vec{\omega} = \omega \vec{e}$
2. Velocidad en el origen,$\vec{v} = \vec{r} \times \vec{\omega}$ o Rotación (eje) Ubicación$\vec{r} = \frac{\vec{\omega} \times \vec{v}}{\omega^2}$
3. Paso de movimiento (relación lineal a angular)$h = \frac{\vec{\omega} \cdot \vec{v}}{\omega^2}$

$$\boldsymbol{v} = \begin{Bmatrix} \vec{\omega} \\ \vec{v} \end{Bmatrix} = \omega \begin{Bmatrix} \vec{e} \\ \vec{r} \times \vec{e} + h \vec{e} \end{Bmatrix}$$

Además, el impulso se describe de manera similar como fuerzas:

1. Magnitud del momento,$p$
2. Dirección de impulso,$\vec{e}$
3. Momento (eje) Ubicación$\vec{r}$ o Momento angular en el origen$\vec{L}$.

Y aquí están las propiedades derivadas de esta información:

1. Vector de impulso,$\vec{p} = F \vec{e}$
2. Momento angular en el origen,$\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$ o Momento (eje) Ubicación$\vec{r} = \frac{\vec{p} \times \vec{L}}{p^2}$
3. Paso de momento (relación lineal a angular)$h = \frac{\vec{p} \cdot \vec{L}}{p^2}$

$$\boldsymbol{p} = \begin{Bmatrix} \vec{p} \\ \vec{L} \end{Bmatrix} = p \begin{Bmatrix} \vec{e} \\ \vec{r} \times \vec{e} + h \vec{e} \end{Bmatrix}$$

Ahora las ecuaciones fundamentales de la mecánica se describen para un cuerpo rígido como:

$$\begin{align} \boldsymbol{p} &= \mathrm{I} \boldsymbol{v}\\ \boldsymbol{f} &= \frac{{\rm d}}{{\rm d}t} \boldsymbol{p} \end{align}$$

con$\rm I$una matriz de inercia espacial apropiada de 6×6. Si el centro de masa se encuentra en$\vec{r}_C$y la matriz de inercia de 3 × 3 sobre el centro de masa es$\mathcal{I}_C$entonces

$${\rm I} = \begin{Bmatrix} m & -m [\vec{r}_C]\times \\ m [\vec{r}_C]\times & \mathcal{I}_C - m [\vec{r}_C]\times [\vec{r}_C]\times \end{Bmatrix}$$

Entonces, desde este largo recorrido, verá que el torque no se necesita directamente, aparte de transmitir la ubicación por donde pasan las fuerzas. La ecuacion$\boldsymbol{p} = \mathrm{I} \boldsymbol{v}$tiene una interpretación geométrica ya que ambos$\boldsymbol{p}$y$\boldsymbol{v}$son líneas en el espacio. Esta ecuación es un mapeo uno a uno relacionado con la relación polo-polar en geometría plana. Finalmente, el brazo de momento del impulso$\ell$está relacionado por el brazo de momento de rotación$c$con la expresión$\ell = \frac{\kappa^2}{c}$dónde$\kappa$es el radio de giro del cuerpo rígido a lo largo del eje de movimiento.

_{NOTA:$\times$es el producto vectorial vectorial y$\cdot$es el producto escalar vectorial. También$[\vec{c}\times]$es una matriz simétrica oblicua de 3 × 3 tal que$[\vec{c}\times] \vec{a} = \vec{c} \times \vec{a}$}

_Referencias:

1. Inercia espacial (diapositivas)
2. Álgebra vectorial espacial (pdf)

3. Derivación de ecuaciones de movimiento (este sitio)

La respuesta que dio Lemon es intuitiva, pero creo que su razonamiento está un poco simplificado en aras de la brevedad.

En general, un objeto se puede girar en cualquier ángulo con cualquier cantidad de trabajo realizado. Considere que una barra está sentada en el espacio libre, el sistema tiene la misma energía independientemente de la orientación de la barra. Cuando giras la barra, le das un momento angular alrededor de un eje. El trabajo que has hecho en la varilla es$\frac{1}{2} I \omega_\text{max}^2$(o la forma tensorial para rotaciones suficientemente complicadas) por el teorema de trabajo-energía. Cuando la varilla se detiene, hace el mismo trabajo sobre el objeto que la detuvo. El trabajo realizado es entonces 0 o una función de la velocidad de rotación dependiendo de si está preguntando antes o después de que se detuvo la barra.

Hay un par de líneas de razonamiento que podemos usar para considerar este problema. Primero considere la cuestión, quizás más profunda, del momento angular. El par es al momento angular lo que la fuerza es al momento lineal. La "razón por la que el par aumenta con el brazo de momento" es que el momento canónico para el ángulo coordenado$\theta$tiene un$mR$como prefactor de$\dot{\theta}$. Cuando usamos el ángulo$\theta$para considerar nuestro problema, la masa relevante para objetos puntuales no es$m$, es$mR$.

¿Hay alguna otra manera en que podamos tratar de entender eso, por qué debería$m \to mR$cuando trabajamos en coordenadas polares? Bueno, es porque$\theta$no es una distancia;$R \theta$es. Así que la distancia asociada con un desplazamiento$\delta \theta$es$R \delta \theta$. Y el trabajo virtual asociado con ese desplazamiento contra una fuerza lineal$F$es$F R \delta \theta$. Es por eso que puedes hacer más trabajo con la misma fuerza a una distancia mayor.$R$.

Su confusión es que cuando trabaja en pares y cuando trabaja en fuerzas lineales, está trabajando fundamentalmente en diferentes sistemas de coordenadas. Un cambio en$\theta$está asociado con un torque en la forma en que un cambio en$x$está asociado a una fuerza. Cuando desea traducir de fuerzas a pares, implícitamente está traduciendo de coordenadas lineales a polares.

La versión rotacional de la Segunda Ley de Newton dice:

El par neto total que actúa sobre un sistema es igual al producto de su momento de inercia y la aceleración angular que experimenta debido a ese par.

La otra versión de esta ley es:

El par neto total que actúa sobre un sistema es igual a la tasa de cambio del momento angular del sistema.

Entonces, la mera razón detrás de la existencia de cualquier par neto total distinto de cero será un momento angular no conservado en el sistema bajo consideración; el sistema no está aislado.

Gracias,