¿Cómo encuentro g(r)g(r)g(r) de la ecuación de Ornstein-Zernike para un fluido de esfera dura en la aproximación de Percus-Yevick?

Question

¿Cómo encuentro g(r)g(r)g(r) de la ecuación de Ornstein-Zernike para un fluido de esfera dura en la aproximación de Percus-Yevick?

Física
termodinámica
transición de fase
fenómenos-críticos
mecánica estadística

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He estado leyendo este artículo de Thiele [J. química física 39, 474 (1963)], quien ha obtenido la función de correlación directa $c(r)$ para un sistema de esfera dura utilizando la aproximación de Percus-Yevick.

Mi pregunta es, ¿cómo puedo encontrar $g(r)$ ¿de esto?

En Random Heterogeneous Materials de Torquato, ha escrito

\frac{pag}{ρ k T} = 1 + 2^{d - 1} η {gramo}_{2} (D^{+})

$\frac{p}{\rho kT} = 1+2^{d-1}\eta g_2 (D^{+})$ dónde

g_{2} (D^{+})

$g_2(D^+)$ es el valor de contacto del lado derecho de la función de distribución radial, y

η

$\eta$ es una densidad reducida adimensional.

Después de un par de líneas, afirma que para esferas duras, a través de la ecuación de Ornstein-Zernike, podemos reescribir la ecuación anterior en términos de la función de correlación directa $c(r)$ como

\frac{pag}{ρ k T} = 1 + 2^{d - 1} η [C (D^{+}) - C (D^{-})]

$\frac{p}{\rho kT} = 1+2^{d-1}\eta [c(D^+)-c(D^-)]$

¿Cómo llega a esta conclusión?

Ornstein-Zernike afirma que

h (r_{12}) = C (r_{12}) + ρ \int d r_{3} C (r_{13}) h (r_{32})

$h(r_{12}) = c(r_{12}) + \rho \int d\mathbf{r}_3 c(r_{13})h(r_{32})$ que después de una transformada de Fourier se convierte en

\hat{C} (k) = \frac{\hat{H} (k)}{1 + ρ \hat{H} (k)}

$\hat{C} (\mathbf{k}) = \frac{\hat{H}(\mathbf{k})}{1+\rho \hat{H}(\mathbf{k})}$

Sin embargo, no veo cómo simplificar esto a la segunda ecuación que tiene. Agradecería cualquier consejo que tengas.

Lo que quiero hacer es tabular los valores de $g(r)$ , para diferentes valores de $r$ mas grande que $\sigma$ . Usando $g(r)$ Quiero calcular la densidad reducida, $p/\rho k T$ , y compárelo con los valores que obtengo de Stirling-Carnahan para la densidad reducida.

Respuestas (1)

¿Cómo encuentro g(r)g(r)g(r) de la ecuación de Ornstein-Zernike para un fluido de esfera dura en la aproximación de Percus-Yevick?

GiorgioP-DoomsdayClockIsAt-90 · Answer 1

Encontrar la forma analítica explícita de $g(r)$ para todas las distancias es factible pero no sencillo. El paso básico está en la solución de Wertheim (Wertheim, MS (1963). Solución exacta de la ecuación integral de Percus-Yevick para esferas duras . Physical Review Letters, 10(8), 321 ).

Sin embargo, si el problema es sólo el valor de contacto de $g(r)$ , la solución es mucho más sencilla. Se basa en el hecho de que, aunque $g(r)$ y $c(r)$ son discontinuos a la distancia del diámetro $r=\sigma$ , su diferencia debe ser continua. Esta es una consecuencia trivial de la ecuación de Ornstein-Zernike: $h(r)-c(r)$ es una convolución de dos funciones con una discontinuidad en $\sigma$ . Por lo tanto, debe ser continua en $\sigma$ (una forma posible de convencerse de este hecho es a partir de la representación de Fourier de OZ que muestra que el término principal del comportamiento asintótico de $\hat{C} (\mathbf{k})$ y $\hat{H} (\mathbf{k})$ debe ser lo mismo).

Por lo tanto, $g(\sigma^+)-g(\sigma^-)= c(\sigma^+)-c(\sigma^-)$ . Pero desde $g(\sigma^-)=0$ (condición central) y $c(\sigma^+)=0$ (aproximación de Percus-Yevick), a partir del conocimiento de $c(r)$ dentro del núcleo es posible obtener el valor de contacto de $g(r)$ .

Gracias por tu respuesta @GiorgioP. Lo que quiero hacer es tabular los valores de $g(r)$ , y ver cómo el valor de $g(r)$ se comporta dentro del núcleo $r<\sigma$ . Usando $g(r)$ Quiero calcular la densidad reducida, $p/\rho k T$ , y compararlo con los valores que obtengo de Stirling-Carnahan. He actualizado la pregunta.
@megance no entiendo que quieres hacer. Por construcción, el $g(r)$ correspondiente a la solución PY es cero dentro del núcleo (esa condición se usa para derivar la forma de $c(r)$ para $r<0$ ). Por otro lado, el argumento que di arriba es suficiente para obtener $g(\sigma^+)=-c(\sigma^+)$ . Por lo tanto, basta con evaluar $-c(\sigma^+)$ para obtener el factor de compresibilidad $p/\rho k T$ .
Me disculpo por la confusión, han sido un par de días largos. Quiero encontrar una función de $r$ y ver cómo se comporta para diferentes valores de $\eta$ . una vez que tengo $g(r)$ , quiero calcular la densidad reducida.
@megance En el artículo de Wertheim que cité, también puede encontrar la expresión para $g(r)$ para $r>\sigma$ . No es posible discutir los detalles del algoritmo y su implementación en un comentario e incluso una pregunta específica probablemente se consideraría fuera de los temas (como una tarea) en este sitio.

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